机器算法验证 - Kruskal-Wallis 内置 R 函数与手动计算略有不一致 - 吾爱随笔录

我对以下内容感到困惑，我无法在其他地方找到答案。

我正在尝试在做一些统计数据的同时学习 R，并且，作为练习，我尝试通过在 R 中“手动”执行这些操作来仔细检查内置 R 函数的结果。但是，对于 Kruskal-Wallis 测试，我不断得到不同的结果，我不知道为什么。

例如，我正在查看在练习中分发的以下数据

activity <- c(2, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 0, 4, 3, 4, 0, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 3, 4, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 2) 
group <- c(rep("A", 11), rep("B", 10), rep("C", 9))
group <- factor(group)
data.raw <- data.frame(activity, group)

我想按组分析活动。首先，我使用内置的 R 函数运行 Kruskal-Wallis 测试

kruskal.test(activity ~ group, data = data.raw)

返回。 $H = 8.9056$

为了仔细检查，我尝试在 R 中“手动”执行相同的操作，并使用以下（无疑是无助的）代码

rank <- rank(activity)
data.rank <- data.frame(rank, group)
rank.sum <- aggregate(rank ~ group, data = data.rank, sum)

x <- rank.sum[1,2]^2 / 11 + rank.sum[2,2]^2 / 10 + rank.sum[3,2]^2 / 9
H <- (12 / (length(activity) * (length(activity) + 1))) * x - 3 * (length(activity) + 1)
H

这旨在反映以下公式：

H = \frac{12}{N (N + 1)} \sum_{i = 1}^{g} (\frac{R_{i}^{2}}{n_{i}}) - 3 (N + 1)

$H =\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i = 1}^g \left(\frac{R^2_i}{n_i} \right) - 3(N + 1)$

其中是观察总数，是组数，是第组中的观察数，组的秩和。 $N$ $g$ $n_i$ $i$ $R_i$ $i$

现在我得到，这让我更加困惑，这也是为相关练习提供的答案。我已经对几个不同的数据集进行了尝试，并且我倾向于使用内置函数获得稍高的值。 $H = 8.499$ $H$

我试图找出我做错了什么或未能理解，但无济于事。谁能帮我理解为什么内置kruskal.test函数返回的值与我通过拼写得到的值不同？