梯度是偏导数s：

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1};\frac{\partial f}{\partial x_2};...;\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$

例如：$f=x^2y$

$$\nabla f =(2xy;x^2)$$

梯度给出了每个方向的变化率$e$($e$是一个单位向量）由于点积$\nabla f.e$：

例如：$\nabla f.(0;1)=\frac{\partial f}{\partial y}$

如果一个函数$f$接受参数$x_1, \ldots, x_n$, 那么偏导数 wrt$x_i$确定梯度：

$$\begin{equation} \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x_1 }\mathbf{e}_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n }\mathbf{e}_n. \end{equation}$$

如果你看梯度下降法的定义，它完全是根据梯度来定义的。

偏导数与函数的梯度究竟有何不同？

也可以对不同的变量进行偏导，例如，

$$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial z }, \end{equation}$$

在哪里$z = z(x_1, \ldots, x_n)$是 xs 的一些函数。