本质上，样条曲线是分段多项式，在称为节点的点处连接。度数指定多项式的度数。1 次多项式只是一条线，因此这些将是线性样条。三次样条具有 3 次多项式，依此类推。自由度（）基本上说明了您必须估计多少个参数。它们与节数和度数有特定的关系，这取决于样条的类型。$\mathrm{df}$

对于 B 样条：如果你指定了节点或如果你指定自由度和度数。对于自然（受限）三次样条曲线：如果你指定了节点或如果你指定了自由度。$\mathrm{df} = k + \mathrm{degree}$$k = \mathrm{df} - \mathrm{degree}$$\mathrm{df} = k - 1$$k = \mathrm{df} + 1$

例如：具有（内部）结个自由度。或者：具有 5 个自由度结。$\mathrm{degree}=3$$4$$\mathrm{df} = 4 + 3 = 7$$\mathrm{degree}=3$$k = 5 - 3 = 2$

自由度越高，样条曲线就越“摆动”，因为结的数量增加了。

边界结是最外面的两个结，通常（但不总是）放置在的最小值和最大值处。其他结称为内部结，当我谈到结的数量时，我总是指内部结。$x$

让我们看一些插图。在下面的散点图中，您会看到一些人工数据以及不同程度的样条拟合，但结的数量相同（）。节点由垂直虚线表示（边界节点由红色虚线表示）并位于的第 25、50 和 75 个百分位数。第一个图显示了一个线性样条 ( )，第二个是二次样条 ( )，第三个是一个三次样条，。$k = 3$$x$$\mathrm{degree} = 1$$\mathrm{degree} = 2$$\mathrm{degree} = 3$

在下图中，您会看到三个具有不同自由度的三次样条曲线。和以前一样，结显示为垂直虚线。随着自由度的增加，结的数量越来越大（从 1 到 3 到 5）。样条曲线变得更加摆动，尽管差异仅在第一个和第二个情节之间非常明显。