机器算法验证 - 使用 PCA 将平面拟合到 3D 中的一组点 - 吾爱随笔录

使用 PCA 将平面拟合到 3D 中的一组点

机器算法验证 r 回归主成分分析全最小二乘法

2022-03-20 15:35:58

我正在尝试使用成对地标的中点来估计 3D 模型的中平面，以重建缺失的数据（中平面在这里指的是颅骨的中间/矢状平面，它将头骨切成左右对称的两半） .

因此，我需要从 3D 中的 27 个点估计一个平面。我需要得到平面方程为

a x + b y + c z = d .

$ax+by+cz=d.$

我已经研究过正交回归和主成分分析 (PCA) 作为方法，但是我没有通过 A-levels 的数学并且正在苦苦挣扎。我知道我应该可以使用特征向量来获得最佳拟合平面的方程，但需要有人确切地解释如何。我将 R 用于 PCA，但也不擅长 R。

或者，如果有更好的方法来估计飞机，我会很高兴听到它！

1个回答

当您对 3D 中的 27 个点执行主成分分析 (PCA) 时，您首先要减去平均向量 $\mathbf m$ 然后得到三个特征向量 $\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3$ 的协方差矩阵。前两个特征向量（具有两个最大特征值）跨越您要查找的平面，因此几何情况如下所示：

问题是：如何从这里得到这个平面的方程的形式

a x + b y + c z = d .

$ax+by+cz=d.$ 这个方程可以重新表述如下：

a \cdot x = d

$\mathbf a \cdot \mathbf x = d$ ，在哪里

x

$\mathbf x$ 是平面上的任意点并且

a

$\mathbf a$ 是一个向量

(a, b, c)

$(a,b,c)$ . 换句话说，我们需要找到一个向量

a

$\mathbf a$ 使得它与平面上任意点的点积给出相同的常数值

d

$d$ .

从上图中，我们看到任何属于平面的点都可以写成 $\mathbf x = \mathbf m+ g\mathbf e_1 + h\mathbf e_2$ ，在哪里 $g$ 和 $h$ 是一些实数。由此可见，之间的点积 $\mathbf e_3$ 和 $\mathbf x$ 是（谁）给的

e_{3} \cdot x = e_{3} \cdot (m + g e_{1} + h e_{2}) = e_{3} \cdot m = c o n s t .

$\mathbf e_3 \cdot \mathbf x = \mathbf e_3 \cdot (\mathbf m+ g\mathbf e_1 + h\mathbf e_2) = \mathbf e_3 \cdot \mathbf m = \mathrm{const}.$ 所以我们有它：我们可以采取

a = e_{3}

$\mathbf a = \mathbf e_3$ 和

d = e_{3} \cdot m

$d = \mathbf e_3 \cdot \mathbf m$ .

综上所述，解决方案是：

\begin{aligned} a & = e_{31} \\ b & = e_{32} \\ c & = e_{33} \\ d & = e_{31} m_{1} + e_{32} m_{2} + e_{33} m_{3} . \end{aligned}

$\begin{align} a &= e_{31}\\ b&=e_{32} \\ c&=e_{33} \\ d&=e_{31}m_1+e_{32}m_2 + e_{33}m_3. \end{align}$

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