这听起来像是使用矩阵分解推荐系统的绝佳机会。简而言之，它的工作原理如下：

• 将您的观察结果放入一个部分观察到的矩阵中，其中给学生的分数。$M$$M_{ij}$$i$$j$

• 假设这个矩阵是一些潜在特征向量的外积，和 - 即。$\vec t$$\vec s$$M_{ij} = t_i s_j$

• 求解最小化平方重建误差的所有观察到的单元格）。$\sum_{i,j} (t_is_j - M_{ij})^2$$M$

• 您可以通过修正的猜测并通过最小二乘法求解 \vec s，然后修正 \vec s 的猜测并 vec并迭代直到收敛，来实现这种期望最大化风格。$\vec t$$\vec s$$\vec s$$\vec t$

请注意，这对教师偏见的形式做出了相当强的假设——特别是，如果您将学生的潜在特征视为他们的“真实分数”，那么教师的偏见会将每个真实分数乘以一个常数（到使其相加，而不是对插入矩阵的分数求幂，然后学习“真实分数”的指数）。由于校准数据如此之少，如果不对这种形式做出强有力的假设，您可能无法走得太远，但是如果您有更多数据，则可以添加潜在特征的第二维等（即假设并再次尝试最小化平方重建误差）。$M_{ij} = \sum_{k=1}^n s_{ik} t_{kj}$

编辑：为了有一个明确定义的问题，你需要有比潜在参数更多的矩阵运算（或者你可以使用某种正则化）。您在这里几乎没有（您有 636 个观察值和 612 个潜在参数），因此矩阵分解可能无法很好地工作——我没有在这么小的样本上使用它们，所以我真的不知道。

如果校准结果不足以使用良好的推荐模型，您可以尝试对Score ~ IsGradStudent + <whatever other student covariates you have> + (1|Teacher)（忽略校准数据）进行多级回归以提取对附加教师偏差的估计，然后检查此偏差是否与您的校准数据一致拿。（如果可能，您应该允许老师的异方差性。）这更加临时，但可能会给您带来不太严重的数据收集问题。

这是一些相关的方法。

拿一组由不止一位老师评分的论文，因为这些论文包含关于教师效应的最多信息，并且在这些论文之外，教师和队列效应是混淆的（如果有某种方法可以得到队列效应——也许是通过 GPA或其他一些预测器，例如，那么您可以使用所有数据，但这会使模型变得相当复杂）。

标记学生和标记。设标记集为。$i=1,2, ... n$$j=1, 2, ...,m$$y_{ij}, i=1,2, ... m$

您首先必须考虑您的模型如何应用标记效果。是添加剂吗？是乘法吗？您是否需要担心边界效应（例如，logit 尺度上的加法或乘法效应会更好）？

想象两张纸上有两个给定的标记，并想象第二个标记更慷慨。假设第一个记号笔会给试卷 30 分和 60 分。第二个记号笔会倾向于给这两个记号加固定数量的分数（比如 6 分）吗？他们会倾向于增加恒定的百分比（比如两个都加 10%，或者 3 分对 6 分）？如果第一个标记给出 99 怎么办？——那会发生什么？那么0呢？如果第二个标记不那么慷慨怎么办？99 或 0 会发生什么？（这就是我提到 logit 模型的原因——人们可能会将标记视为可能标记的一部分（），然后标记效果可能是添加一个常数（比如说）到的 logit - 即 )。$p_{ij}=m_{ij}/100$$p$$\log(p_{ij}/(1-p_{ij})$

（这里没有足够的数据来估计慷慨的形式及其大小。您必须根据对情况的理解来选择模型。您还需要忽略任何交互的可能性；您不需要有它的数据）

可能性 1 - 普通的加法模型。如果没有标记真的接近 0 或 100，这可能是合适的：

考虑像$E(y_{ij}) = \mu_{i}+\tau_j$

这本质上是一个双向方差分析。您需要对此进行约束，因此您可以设置偏差编码/设置模型，以便标记效果为 0，或者您可以设置一个模型，其中一个标记是基线（其效果为 0，您的标记为将尝试调整每个其他标记）。

然后取值并调整更广泛的标记群体。$\hat{\tau}_j$$y_{kj}^\text{adj}=y_{kj}-\hat{\tau}_j$

可能性 2：实际上，类似的想法，但。在这里，您可能适合非线性最小二乘模型，或带有对数链接的 GLM（我可能倾向于这两个模型中的第二个）。同样，您需要对进行约束。$E(y_{ij}) = \mu_{i}\tau_j$$\tau$

然后一个合适的调整是除以。$\hat{\tau_j}$

可能性 3：在 logit 标度上加法。如果一些分数接近 0 或 100，这可能更合适。对于非常小的分数，它看起来大致为乘法，对于中等分数，它看起来大致为乘法，而对于非常高的分数，它在中大致为乘法。您可以使用 beta 回归或带有 logit 链接的准二项式 GLM 来拟合此模型。$1-p=(100-m)/100$