X只有当和之间的相关性为 1 时，多重共线性才会成为问题Z。在这种情况下，X可以Z将 和 组合成一个变量，从而提供无偏估计。我们可以通过一个简单的模拟看到这一点

> set.seed(1)
> N <- 100
> Z <- rnorm(N)
> X <- Z   # perfect collinearity
> Y <- 4 + X + Z + rnorm(N)
> lm(Y ~ X) %>% summary()

Call:
lm(formula = Y ~ X)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.8768 -0.6138 -0.1395  0.5394  2.3462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.96231    0.09699   40.85   <2e-16 ***
X            1.99894    0.10773   18.56   <2e-16 ***

这是有偏见的。但是由于完美的共线性，调整为Z不起作用：

lm(Y ~ X + Z) %>% summary()

Call:
lm(formula = Y ~ X + Z)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.8768 -0.6138 -0.1395  0.5394  2.3462 

Coefficients: (1 not defined because of singularities)
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.96231    0.09699   40.85   <2e-16 ***
X            1.99894    0.10773   18.56   <2e-16 ***
Z                 NA         NA      NA       NA    

因此，我们将Xand组合Z成一个新变量 ,W和W仅条件：

> W <- X + Z
> lm(Y ~ W) %>% summary()

Call:
lm(formula = Y ~ W)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.8768 -0.6138 -0.1395  0.5394  2.3462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.96231    0.09699   40.85   <2e-16 ***
W            0.99947    0.05386   18.56   <2e-16 ***

我们得到一个无偏估计。

关于你的观点：

这个模型导致 x 的 b 系数更小或接近于零？

不，不应该是这样。如果相关性很高，估计可能会失去一些精度，但仍然应该是无偏的。我们再次可以通过模拟看到：

> nsim <- 1000
> vec.X <- numeric(nsim)
> vec.cor <- numeric(nsim)
> #
> set.seed(1)
> for (i in 1:nsim) { 
+ 
+   Z <- rnorm(N)
+   X <- Z + rnorm(N, 0, 0.3) # high collinearity
+   vec.cor[i] <- cor(X, Z)
+   Y <- 4 + X + Z + rnorm(N)
+   m0 <- lm(Y ~ X + Z)
+   vec.X[i] <- coef(m0)[2]
+   
+ }
> mean(vec.X)
[1] 1.00914
> mean(vec.cor)
[1] 0.9577407

请注意，在上面的第一个示例中，我们知道数据生成过程，并且因为我们知道这一点X并且Z具有相同的影响，因此两个变量的简单总和起作用。然而在实践中我们不会知道数据生成过程，因此，如果我们确实有完美的共线性（当然在实践中不太可能），那么我们可以使用与上面第二个模拟相同的方法，并添加一些小的随机误差Z这将揭示 的无偏估计X。

你的方法不同是相关性是中等还是弱？

如果相关性是中等或一周，则在调节上应该没有问题Z