在我看来，在研究生阶段研究的一些选项可能是：功能分析（统计公式的自然框架）、随机过程、随机控制（顺序分析是最佳停止）、各种 PDE 风格（许多概率问题被表述为抛物线和非线性偏微分方程）。几乎所有这些都需要在本科阶段进行实际分析。如果您对理论知识感兴趣，那么作为全面处理这些主题的先决条件，采用测度理论也是非常重要的。复分析会有一些用处，但比上面的少；与概率（即谐波函数）有联系，但很可能不值得

交换代数和代数几何不会很有用（我能想到的一个联系是代数统计，它没有被广泛教授）。如果没有扎实的数学背景，这些主题也将非常具有挑战性。

如果你想了解测度论，你别无选择，只能进行实分析和高级分析（即点集拓扑）。抽象代数肯定比分析更适合年级，但我认为它的用处要小得多。

得到真正的分析，但不是我看到的人们这样做的方式。当我们采访数学本科生时，他们似乎并不掌握真正的分析工具，对他们中的大多数人来说，像积分这样的简单事情是遥不可及的。我还是不明白为什么。所以，我的建议是：首先要关注应用程序。

还可以学习 ODE 和 PDE 课程，以及泛函分析和微分几何。当然，线性代数和张量也是如此。所有这些都专注于应用程序。

关于交换代数和代数几何，其他答案中最少涉及的主题，我的印象是，只要您避免使用代数统计，就可以完全没有它们。然而，在未来避免代数统计可能会越来越困难，因为它与机器/统计学习有很多应用和交叉点，这在当今的研究以及其他领域的应用中非常突出。交换代数和代数几何是您最想学习代数统计的科目，例如，请参阅此问题的答案：统计的代数几何

相比之下，统计的所有子领域都使用分析。（虽然没有那么多复杂的分析，尽管这可能对理解特征函数很有用，这一点似乎还没有被提出。）我认为本科水平的测量理论可能就足够了，因为我遇到了专业的统计学家（例如教授在高层部门）看不起测度论，但如果你真的想了解测度论，那么研究生水平的实分析课程是一个很大的帮助。本科测度理论倾向于只关注实线上的勒贝格测度，它有很多一般测度不一定有的好性质，而且是一个无穷大的测度。相比之下，研究生水平的实分析课程往往会更加强调抽象度量，这使得概率度量通常更容易理解，也使连续概率度量和离散概率度量之间的关系更加清晰——换句话说，您将能够第一次看到这两个主题在您的脑海中出现在一个框架内。同样，人们可能会在这样的课程中证明 Kolmogorov 扩展定理。对抽象度量的理解对于严格理解连续时间的随机过程来说确实是必不可少的。它甚至有助于理解离散时间的随机过程，尽管不如在连续情况下重要。您将能够第一次在您的脑海中看到这两个主题在一个框架内融合在一起。同样，人们可能会在这样的课程中证明 Kolmogorov 扩展定理。对抽象度量的理解对于严格理解连续时间的随机过程来说确实是必不可少的。它甚至有助于理解离散时间的随机过程，尽管不如在连续情况下重要。您将能够第一次在您的脑海中看到这两个主题在一个框架内融合在一起。同样，人们可能会在这样的课程中证明 Kolmogorov 扩展定理。对抽象度量的理解对于严格理解连续时间的随机过程来说确实是必不可少的。它甚至有助于理解离散时间的随机过程，尽管不如在连续情况下重要。