机器算法验证 - 计算移动标准差所产生的时间序列的自相关函数是什么？ - 吾爱随笔录

计算移动标准差所产生的时间序列的自相关函数是什么？

机器算法验证时间序列自相关移动窗口

2022-03-26 05:19:48

假设我有一个时间序列的观测值，并且我将该时间序列的方差的度量计算为宽度滚动窗口中的标准偏差 (SD) $w$ 并且该窗口在系列上以单个时间步长移动。进一步假设 $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ ，在哪里 $n$ 是观察的数量，并且窗口是右对齐的；我必须观察 $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ 在我开始产生时间序列 SD 的移动窗口估计之前，序列的值。

SD值的新时间序列的ACF是否有预期形式？我认为对先前值的依赖将与窗口有关 $w$ , 但是这样一个系列的 ACF 是否与一个 $\mathrm{MA}(w)$ 过程？

背景

我试图通过移动窗口推导原始时间序列方差的时间序列的含义。在计算了 SD 值的派生系列之后，通常应用的下一步是查看派生的 SD 值系列中是否存在某种趋势。由于派生系列中的每个值在某种程度上取决于原始系列的先前值，因此派生系列的值不是独立的。因此，一个经常出现的问题是如何解释这种缺乏独立性。

这种计算（移动窗口）通常针对时间序列进行，以寻找即将发生的阈值响应（所谓的临界转换）的指标证据（增加方差，增加 AR(1) 系数）。

1个回答

滚动标准差的 ACF 一般不能从时间序列的 ACF 中得到，因为滚动标准差本质上是一个非线性滤波器。

为避免边界效应采取 $(X_t)_{t \in\mathbb{Z}}$ 是一个均值为 0 的双重无限平稳过程。据我了解滚动窗口计算，我们引入滚动方差估计器

s_{t}^{2} = \sum_{i = 0}^{w} \frac{1}{w + 1} X_{t - i}^{2},

$s_t^2 = \sum_{i=0}^w \frac{1}{w+1} X_{t-i}^2,$ 这是平方过程的向后移动平均值。标准差，为

s_{t} = \sqrt{s_{t}^{2}}

$s_t = \sqrt{s_t^2}$ , 更是非线性滤波器。然而，

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ 是平方过程的因果线性滤波器，因此它的 ACF 可以从

(X_{t}^{2})_{t \in Z}

$(X_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ . 如果时间序列是 iid 变量的序列，那么平方过程也是如此，在这种情况下

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ 是一个文学硕士

(w)

$(w)$ 所有权重等于的过程

1 / (w + 1)

$1/(w+1)$ . 另一方面，使用 ARCH(1) 模型，我们可以找到过程本身是白噪声过程但平方过程不是的示例。事实上，对于 ARCH(1) 模型，平方过程的 ACF 与 AR(1) 过程的 ACF 一致，在这种情况下，滚动方差的 ACF 与 AR(1) 的移动平均值相同）过程。

显然，上述计算是理想化的，因为在实践中我们可能还会使用滚动平均值来使时间序列居中。正如我所看到的，这只会更加混乱显式计算。

通过对时间序列（ARCH 结构或高斯分布）的明确假设，您有一定的机会可以计算平方过程的 ACF，并由此计算滚动方差的 ACF。

在更定性的层面上，滚动方差和滚动标准偏差将继承时间序列本身的遍历性和各种混合属性。如果您想应用（非线性）时间序列分析和随机过程中的通用工具来评估滚动标准偏差是否是平稳的（我理解这是感兴趣的），这将非常有用。

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