机器算法验证 - 工具变量和混合/多级模型 - 吾爱随笔录

我想估计一个增长模型来模拟个人的增长轨迹 $j$ 在多个时间点 $t$ 通过应用标准混合/多级模型（也称为随机系数模型）：

\begin{aligned} Y_{t j} & = β_{0_{j}} + β_{1_{j}} A_{t j} + β_{2_{j}} X_{t j} + β_{3_{j}} Z_{t j} + e_{t j} \\ β_{0_{j}} & = β_{0} + u_{0_{j}} \\ β_{1_{j}} & = β_{1} + u_{1_{j}} \\ β_{2_{j}} & = β_{2} + u_{2_{j}} \\ β_{3_{j}} & = β_{3} + u_{3_{j}} \end{aligned}

$\begin{align} Y_{tj} &= \beta_{0_j} + \beta_{1_j}A_{tj} + \beta_{2_j}X_{tj} + \beta_{3_j}Z_{tj} + e_{tj} \\ \beta_{0_j} &= \beta_0 + u_{0_j} \\ \beta_{1_j} &= \beta_1 + u_{1_j} \\ \beta_{2_j} &= \beta_2 + u_{2_j} \\ \beta_{3_j} &= \beta_3 + u_{3_j} \end{align}$

$A_{tj}$ 是一个线性增长函数（即观察时间点： $1,2,3, ..., t$ ）。 $X_{tj}$ 是一个外生协变量。 $Z_{tj}$ 是一个内生协变量。让我们进一步假设我有理由相信第 1 级的自变量之一， $Z_{ij}$ , 是内生的。

我想知道我是否可以使用工具变量方法（使用内生变量的滞后作为工具）来处理 $Z_{ij}$ . 但是，我没有找到任何参考资料或例子。这通常是可能的吗，我怎样才能改变混合模型的标准 R 代码来做到这一点？目前我正在使用函数调用lmer(Y ~ X + Z + (1 + X + Z | ID), data=data)。

Gelman & Hill (2006)，第 23.4 章 ( pdf ) 展示了如何通过应用贝叶斯方法来做到这一点。我会对参考文献和 R 代码感兴趣，通过在多级模型中使用工具变量（即内生变量的滞后作为工具）来控制内生性。