您的结论不成立：如果对数似然曲率的期望值为负，则不一定处处为负。平均而言，它只需要消极多于积极。考虑一个双峰分布：在模式之间确实有一个区域具有正弯曲的对数似然，所以你的说法不可能是真的。

请注意与直觉的最大似然估计的链接：在 MLE 的附近，您可能期望曲率是负的，因为您处于最大值（尽管不一定，例如最大值出现在边界上） . 如果曲率在最有可能的区域中为负，那么直观上平均值应该趋于负。实际上，正如您所指出的，在允许您使用“斜率方差”定义的等价性的规则条件下，它必须始终如此。

对于某些类别的似然函数，可以证明似然是对数凹的，即对数似然在任何地方都有二阶导数，这使生活变得更加容易（例如，您通常可以证明存在唯一的全局最大值，使用专门的优化方法...）例如，$<=0$

• 这个 CV 问题表明具有规范链接函数的指数族似然是对数凹的
• 这篇论文“Concavity of the Log Likelihood”Pratt 1981，JASA证明了具有序数响应的一类模型的对数凹度。

当然也有反例（可证明非对数凹的可能性）。例如，任何双峰或多峰的对数似然都是非对数凹的......例如

• “关于惩罚样条混合模型的对数似然函数中的双峰性的说明”，Welham 和 Thompson 2009 CS&DA
• “曲线指数族中的平面和多模式似然和模型缺乏拟合”，Sundberg 2010 Scand J Stat
• “空间高斯过程协方差函数的似然估计问题”，Warnes 和 Ripley 1987 Biometrika