• 让是一些随机变量。$K$

  • 在您的问题中，是您在获得正面之前翻转的次数。$K$

• 令为某个支付函数。$f(k)$

  • 在您的问题中。$f(k) = 2^k$

• 设为收益$f(K)$

您是说赌博的合理估值由给出。这是一个完全临时的、相当无原则的启发式方法。在某些情况下可能很好（例如，很小且接近线性），但很容易构建一个暗示一些无意义的例子。$f(K)$$f(\mathrm{E[}K])$$K$$f$

您的系统完全没有意义的示例

令为正态分布的抽取，并令支付函数为。你的系统说我不应该为这场赌博支付超过的费用，因为。但是你不应该为这场赌博分配一些积极的价值吗？！回报大于零的概率为 100%！$K$$\mathcal{N}(0,10000000000000)$$f(K) = K^2$$0$$f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$

圣彼得堡悖论的更经典解决方案

一种方法是增加风险规避。如果你足够规避风险，那么你愿意为这个无限期望赌博付出的代价将是有限的。如果您接受冯诺依曼-摩根斯特恩公理，则玩游戏的确定性由给出，其中：$z$

其中是你的财富，是一个凹函数（用行话来说，是伯努利效用函数），它反映了你的风险厌恶程度。如果足够凹，则的估值将是有限的。$w$$u$$u$$2^K$

具有一些不错属性的伯努利效用函数结果是。在伯努利效用函数是您财富的对数的情况下，最大化预期效用等同于最大化您的财富的预期增长率。对于简单的二元投注，这为您提供了凯利标准投注。$u(x) = \log(x)$

另一个重要的一点是，风险规避方法会导致不同的确定性等价物，具体取决于您在赌博的哪一边。

该提议的决议没有任何问题。

在最初的悖论中，我们着眼于利润的预期值（平均值），它是无限的，因此您应该下注无限量。然而，在第一次抛硬币后，你有 50% 的机会赔钱，这就是人们不喜欢它的原因。您的决议只是形式化了这一点，而不是查看平均利润，而是查看中位数利润。与平均利润不同，利润中位数是有限的，悖论消失了。

如果我理解正确，您的分析是：

1. 计算获得正面所需的预期掷硬币次数。
2. 计算您获得预期数字的结果的支出。
3. 将游戏价值等同于该支出。

...好吧，让我们稍微修改一下那个游戏。就像最初的版本一样，我会掷硬币并不断掷硬币，直到出现正面。只有支出发生了变化：

• 如果我在第二次投掷时正面朝上，你会得到四美元。
• 在任何其他结果中，您将失去您拥有的一切，并且必须永远免费为我工作。

在我们得到正面之前，我们期望翻转多少硬币？2、和以前一模一样。

我们掷两个硬币得到正面的结果是什么？4.00 美元，和以前完全一样。

你愿意为支付这个有 75% 的可能性让你破产并有 25% 的机会返回 4.00 美元的游戏的“特权”支付多少？

我怀疑答案不是“最多四美元，和以前完全一样”。这意味着您的逻辑存在漏洞。

从更广泛的角度来看，预期的奖金不一定足以回答这类问题；通常它取决于一些额外的上下文。这是一次性的机会，还是您希望多次获得这种赌博？你手头有多少钱？你需要多少钱才能快乐？

例如，如果我的总财富是 100 美元，但我急需 100 万美元用于挽救生命的手术，我愿意为圣彼得堡的赌注付出所有的钱。它只给了我 1/2^19 的机会赢得我需要的钱，但如果我不玩，我根本没有机会。

另一方面，如果我的总财富是 1000,000 美元，而我恰好需要 100 万美元来进行这项操作，那么我最愿意为一场游戏支付 2 美元（我保证会赢回来） . 还有更多，我有 1/2 的机会最终无法挽救我的生命所需的一百万美元。

如果我期望有很多机会玩这类游戏，那么我可能想选择一种策略，让我在所有这些游戏结束时有很高的概率获得大量资金。例如：

游戏A保证每次我玩它都会增加我10%的财富。（预期获胜：+10% 我目前的财富。） 游戏 B 有 90% 的机会让我的财富翻倍，有 10% 的机会让我破产。（预期获胜：+70% 我目前的财富。）[编辑：实际上 +80%，因为我基本算术不及格，但这个论点仍然成立。]

如果我玩游戏 A 的 100 次迭代，我的财富肯定会乘以 13,780 倍。

如果我玩游戏 B 的 100 次迭代，我有 0.0027% 的机会变得难以想象的富有（大约是我开始时的 10^30 倍）……以及 99.73% 的机会破产。尽管平均值比游戏 A 好，但这不是一个好的选择。

对于这种重度迭代的游戏，与其试图最大化我在每场游戏中的预期赢利，不如尝试最大化 ln 的预期值（游戏后的总财富/游戏前的总财富）。这确保了长期增长而不会被消灭。

如果每场比赛的赌注相对于我的总财富来说很小，那么这大约相当于最大化每场比赛的预期赢利。

因此，如果您玩很多游戏并且从未冒过您当前财富的大部分风险，那么赌博的预期价值会告诉您您需要知道的一切。在几乎任何其他情况下，您也需要考虑其他事情。