考虑固定效应与随机效应的一种方法是检查固定效应估计器与随机效应估计器相比的工作方式。

假设我有公司的面板数据。让$y_{i,t}$成为公司的股息$i$有时$t$. 让$x_{i,t}$成为我们所关注的自由现金流。

想象我们的模型是：

所以公司的股息$i$有时$t$是总和$\beta$乘以自由现金流加上公司特定效应$u_i$和一个固定的、特定时间的误差项 $\epsilon_{i,t}$. 现在让我们想象两个不同的估计器：

• 内估计量。$\beta$仅使用每个公司内的时间序列变化来估计。
• 间估计量。$\beta$仅使用不同公司之间的差异进行估计。（中间估计量是$\beta$从横截面回归$\bar{y}_i = \beta \bar{x}_i + v_i$.)

内估计量是固定效应估计量。它去掉了每组的平均值和唯一剩余的变量来估计$\beta$是每个公司内的时间序列变化。如果固定效果可以是任何东西，这就是你必须做的。

随机效应估计量是组内估计量和组间估计量的加权平均值。如果影响$u_i$是随机的且均值为零，则公司之间的变异还包含有关$\beta$并且between估计量也是一致的估计量。与其剔除公司间变异（如在固定效应估计器中发生的那样），公司间变异在随机效应估计器中被赋予了一些权重$\beta$.

你可以从这个线程开始。正如fcop在评论中已经指出的那样，使用随机效应的一个例子是，你有多个级别的变量（教室），估计这么多参数需要大量数据和巨大的计算能力。在这种情况下，您通常不会对课堂效果本身感兴趣，而是对它们的总体影响感兴趣，您会假设它们有所不同，但可以使用常见分布进行汇总。也可能是您只有一个教室样本，而特定教室本身并不有趣，但用于了解与教室相关的一般可变性。因此，您使用随机效应对精确估计变量的参数不感兴趣，但您希望通过估计其水平可能影响的分布来考虑此类变量的影响。

关于虚拟变量，如果变量具有有限数量的值（例如您的情况下的教室），则有效，但当值数量众多时则无效，这就是诀窍；如果你有大量的值，那么你会得到大量的截距（或斜率），因此会有很多假人，然后你就不能很好地估计模型（你会失去很多自由度，因为你有很多解释变量） .

在这种情况下，您可以使用随机效果；即您假设截距是正态分布的，然后您的假人数量在正态分布中被“汇总”。后者只有两个参数（均值和标准差），因此无需估计大量的系数（即每个假人一个），您只需估计两个参数（均值和标准差）并且您知道分布拦截。这节省了很多自由度。