最大值不服从正态分布。它的 cdf 是$\Phi(x)^{100}$在哪里$\Phi(x)$是标准的正常 cdf。一般来说，这种分布的矩很难通过分析获得。Tippett有一篇关于此的古老论文（ Biometrika，1925）。

我问为什么随机正态分布的最大 100 次抽取的平均值与正态分布的第 98 个百分位数之间存在差异。我从 Rob Hyndman 那里得到的答案大部分是可以接受的，但在技术上过于密集，无法在不修改的情况下接受。我想知道是否有可能提供一个答案，用直观易懂的简单语言解释为什么这两个值不相等。

最终，我的回答可能是不令人满意的循环；但从概念上讲，max(rnorm(100)) 往往高于 qnorm(.98) 的原因简而言之，因为平均而言，100 个随机正态分布分数中的最高值有时会超过其预期值。然而，这种扭曲是不对称的，因为当得出低分时，它们不太可能最终成为 100 分中的最高分。每次独立抽签都是超过预期值的新机会，或者因为获得的值不是 100 个抽签值中的最大值而被忽略。对于视觉演示，比较最大值 20 个值的直方图与最大值 100 个值的直方图，偏斜的差异，尤其是尾部的差异非常明显。

我在解决我在评论中提出的相关问题/问题时间接得出了这个答案。具体来说，如果我发现某人的考试成绩排在第 95 个百分位，我预计如果我将他们与其他 99 名应试者放在一个房间里，他们的平均排名将是 95。结果是或多或少的情况（R代码）......

for (i in 1:NSIM)
{
    rank[i] <- seq(1,100)[order(c(qnorm(.95),rnorm(99)))==1]
}
summary(rank)

作为这个逻辑的延伸，我同样期待，如果我在一个房间里找 100 个人，选择得分最高的人，然后再找 99 个人，让他们参加同样的测试，那么平均来说，被选中的人会在新组中排名第 95 位。但事实并非如此（R代码）......

for (i in 1:NSIM)
{
    testtakers <- rnorm(100)
    testtakers <- testtakers[order(testtakers)]
    testtakers <- testtakers[order(testtakers)]
    ranked95 <- testtakers[95]
    rank[i] <- seq(1,100)[order(c(ranked95,rnorm(99)))==1]
}
summary(rank)

第一种情况与第二种情况的不同之处在于，在第一种情况下，个人的得分恰好位于第 95 个百分位。在第二种情况下，他们的分数可能会高于或低于真正的第 95 个百分位数。由于他们不可能排名高于 100，因此产生排名 95 分数实际上处于第 99 个百分位或更高的组不能抵消（就平均排名而言）排名 95 分数远低于真正的第 90 位的那些情况百分位。如果您查看此答案中提供的两个秩向量的直方图，很容易看出上端存在范围限制，这是我一直在描述的这个过程的结果。

有两个问题：一个是您确定的最高值分布的偏度；另一个是您不应该查看第 98 个百分位数。

考虑中位数，而不是最大值的平均值。这更容易，因为它是一个订单统计信息。所有 100 个值都小于分位数的概率$q$是$q^{100}$所以最大值的中位数将是$q^{100}=\frac12$， IE$q=\dfrac{1}{2^{1/100}}\approx 0.99309$, 而不是$0.98$. 但是由于偏度，您会期望平均值更高。

作为 R 中的插图

require(matrixStats)
NSIM <- 100001
cases <- 100
set.seed(1)
simmat <- matrix(rnorm(cases*NSIM), ncol=cases)
tops <- rowMaxs(simmat)
c(mean(tops), median(tops), qnorm(1/2^(1/cases)))
c(pnorm(mean(tops)), pnorm(median(tops)), 1/2^(1/cases))

这使

> c(mean(tops), median(tops), qnorm(1/2^(1/cases)))
[1] 2.508940 2.464794 2.462038
> c(pnorm(mean(tops)), pnorm(median(tops)), 1/2^(1/cases))
[1] 0.9939453 0.9931454 0.9930925

只是为了扩展 Rob 的答案，假设我们想知道最高值的累积分布函数 (CDF)$N$从标准正态分布中独立抽取，$X_1, ..., X_N$. 调用这个最高值$Y_1$，一阶统计量。那么CDF是：

$$\begin{align*}P(Y_1 < x) &= P(\max(X_1, ..., X_N) < x) \\ &= P(X_1 < x, ..., X_N < x) \\ &= P(X_1 < x) \cdot \cdot \cdot P(X_N < x) \\ &= P(X < x)^{100}, \end{align*}$$ 其中第二行是平局的独立性。我们也可以将其写为 其中表示 CDF，表示作为该函数的下标给出的随机变量的 PDF。 $$F_{Y_1}(x) = F_X(x)^{100},$$ $F$$f$

Rob 使用标准表示法，被定义为 ---即，是标准法线 CDF。$\Phi(x)$$P(X < x)$ $\Phi(x)$

一阶统计量的概率密度函数 (PDF) 只是 CDF 关于的导数： CDF 在乘以 100 （即 ）时提高到 99 （即）乘以 PDF 。$X$

$$f_{Y_1}(x) = 100 \cdot F_X(x)^{99} f_X(x)$$ $x$$N-1$$x$$N$