假设您的曲线代表从数据中获得的经验 CDF，则测试两个以上组之间差异的常用方法是类似于 Kolmogorov-Smirnov 检验的某种多样本非参数检验，或基于秩的检验ANOVA 检验类似于多样本 Kruskal-Wallis 检验。统计文献中有许多论文着眼于此类多样本非参数检验（参见例如，Kiefer 1959、Birnbaum 和 Hall 1960、Conover 1965、Sen 1973的早期文献）。如果您减少到感兴趣的成对比较，您当然可以使用传统的两样本测试。

有一个R称为ksamples实现多样本 Kruskal-Wallis 检验和其他一些多样本非参数检验的包。我不知道进行多样本 KS 测试的软件包，但其他人可能会向您指出其他资源。

您可以使用与 4 个组相对应的一组假人的同时分位数回归来执行类似的操作。这允许您测试和构建置信区间，比较描述您关心的不同分位数的系数。

这是一个玩具示例，我们不能拒绝在所有 4 个 MPG 组中第 25、第 50 和第 75 个四分位数的汽车价格都相等的联合零值（p 值为 0.374）：

. sysuse auto, clear
(1978 Automobile Data)

. xtile mpg_quartile = mpg, nq(4)

. distplot price, over(mpg_quartile) legend(rows(1)) ylab(.25 .5 .75, angle(0) grid) xlab(#10, grid) ///
> plotregion(fcolor(white) lcolor(white)) graphregion(fcolor(white) lcolor(white))

. 
. sqreg price i.mpg_quart, quantile(.25 .5 .75) reps(500)
(fitting base model)

Bootstrap replications (500)
----+--- 1 ---+--- 2 ---+--- 3 ---+--- 4 ---+--- 5 
..................................................    50
..................................................   100
..................................................   150
..................................................   200
..................................................   250
..................................................   300
..................................................   350
..................................................   400
..................................................   450
..................................................   500

Simultaneous quantile regression                    Number of obs =         74
  bootstrap(500) SEs                                .25 Pseudo R2 =     0.0909
                                                    .50 Pseudo R2 =     0.1228
                                                    .75 Pseudo R2 =     0.2639

------------------------------------------------------------------------------
             |              Bootstrap
       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
q25          |
mpg_quartile |
          2  |      -1297   528.3106    -2.45   0.017    -2350.682   -243.3178
          3  |      -1192   447.9346    -2.66   0.010    -2085.377   -298.6225
          4  |      -1484   458.6527    -3.24   0.002    -2398.754   -569.2459
             |
       _cons |       5379   414.9198    12.96   0.000     4551.468    6206.532
-------------+----------------------------------------------------------------
q50          |
mpg_quartile |
          2  |      -1442   1253.755    -1.15   0.254    -3942.535    1058.535
          3  |      -1086   1414.436    -0.77   0.445    -3907.004    1735.004
          4  |      -1776   1232.862    -1.44   0.154    -4234.867    682.8667
             |
       _cons |       6165   1221.461     5.05   0.000     3728.873    8601.127
-------------+----------------------------------------------------------------
q75          |
mpg_quartile |
          2  |      -6213   1591.987    -3.90   0.000    -9388.118   -3037.882
          3  |      -4535   1847.591    -2.45   0.017    -8219.904   -850.0963
          4  |      -6796   1592.095    -4.27   0.000    -9971.334   -3620.666
             |
       _cons |      11385   1556.486     7.31   0.000     8280.686    14489.31
------------------------------------------------------------------------------

. test ///
> ([q25]2.mpg_quart=[q25]3.mpg_quart=[q25]4.mpg_quart) ///
> ([q50]2.mpg_quart=[q50]3.mpg_quart=[q50]4.mpg_quart) ///
> ([q75]2.mpg_quart=[q75]3.mpg_quart=[q75]4.mpg_quart)

 ( 1)  [q25]2.mpg_quartile - [q25]3.mpg_quartile = 0
 ( 2)  [q25]2.mpg_quartile - [q25]4.mpg_quartile = 0
 ( 3)  [q50]2.mpg_quartile - [q50]3.mpg_quartile = 0
 ( 4)  [q50]2.mpg_quartile - [q50]4.mpg_quartile = 0
 ( 5)  [q75]2.mpg_quartile - [q75]3.mpg_quartile = 0
 ( 6)  [q75]2.mpg_quartile - [q75]4.mpg_quartile = 0

       F(  6,    70) =    1.10
            Prob > F =    0.3740

ECDF 如下所示：

尽管对于图中的 3 个分位数，第 1 组和第 2-4 组之间似乎存在很大差异。但是，这并不是很多数据，因此由于“微数”，无法通过正式测试拒绝可能并不令人惊讶。

有趣的是，Kruskal-Wallis 检验拒绝了 4 个组来自同一群体的假设：

. kwallis price , by(mpg_quartile)

Kruskal-Wallis equality-of-populations rank test

  +---------------------------+
  | mpg_qu~e | Obs | Rank Sum |
  |----------+-----+----------|
  |        1 |  27 |  1397.00 |
  |        2 |  11 |   286.00 |
  |        3 |  22 |   798.00 |
  |        4 |  14 |   294.00 |
  +---------------------------+

chi-squared =    23.297 with 3 d.f.
probability =     0.0001

chi-squared with ties =    23.297 with 3 d.f.
probability =     0.0001

为了一次比较 2 个分布（“成对”），可以找到 CDF 在统计上显着不同的所有值范围，同时将全族错误率 (FWER) 控制在所需的水平。这种（新）方法在这篇 2018 年计量经济学期刊论文以及这篇 2019 年 Stata 期刊文章中有详细描述。R 和 Stata 代码（以及开放的文章草稿和复制文件）位于https://faculty.missouri.edu/~kaplandm。两篇文章都包含带有真实数据的示例。一切都是完全非参数的，即使在小样本中，FWER 的“强控制”也是精确的。