确实很有趣的问题。接下来是三个非贝叶斯解决方案。

经典物理学家的观点

这是我的物理学家的解决方案。 这里是经验柯西分布的 CDF，或者您也可以将其称为分位数（百分位数）函数。

$$\alpha=median[x_k]=F^{-1}(1/2)$$ $$\beta=F^{-1}(3/4)-F^{-1}(1/4)$$ $F$

柯西分布（又名物理学中的 Breit-Wigner）没有均值，但它是对称的。因此，中位数是对的一个不错的估计。$\alpha$

因为它也没有变化，所以在物理学中，当使用这种分布时，半高宽度的概念被用来描述它的离散度。它发生在 PDF 的半高处的宽度是并且对应于第一和第三四分位数之间的跨度（四分位数范围）。$\beta$

MLE

最大似然估计当然更有效。但是，我的非常简单和直观。

OLS（不工作）

还有一个可怕的回归解决方案。看分布的分位数函数：

$$Q(p; \alpha,\beta) = \alpha + \beta\,\tan\left[\pi\left(p-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$

看来，我们可以将其转换为 OLS 问题（假设是有序的！）： 其中$x_k$

$$x_k = \alpha + \beta\,\tan\left[\pi\left((k-1/2)/N-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$ $$x_k = \alpha + \beta\,z_k,$$ $z_k=\tan\left[\pi\left((k-1/2)/N-\tfrac{1}{2}\right)\right]$

OLS 将立即为您提供估计值。$\hat\alpha,\hat\beta$

问题是，OLS 假设方差有限，而 Cauchy 没有。所以，OLS 的输出是垃圾。这是用于试验的 R 代码，看看我的第一个方法是多么强大。

alpha <- 10 # unkonwn true values
beta  <- 30 # this is known for now
##################
set.seed(123)
N       <- 1024
theta_k <- runif(N,-pi/2,pi/2)
x_k     <- beta * tan(theta_k) + alpha
q123 = quantile(x_k,c(1/4,1/2,3/4),type=1)
print("alpha")
print(q123[2])
print("beta")
print((q123[3] - q123[1])/2)

y = sort(x_k)
x = tan(pi*((seq(1:N)-0.5)/N-1/2))
fit = lm(y~x)
print(fit)

输出：

alpha <- 10 # unkonwn true values
beta  <- 30 # this is known for now
##################
set.seed(123)
N       <- 1024
theta_k <- runif(N,-pi/2,pi/2)
x_k     <- beta * tan(theta_k) + alpha
q123 = quantile(x_k,c(1/4,1/2,3/4),type=1)
print("alpha")
print(q123[2])
print("beta")
print((q123[3] - q123[1])/2)

y = sort(x_k)
x = tan(pi*((seq(1:N)-0.5)/N-1/2))
fit = lm(y~x)
print(fit)

由于并且您想估计灯塔的位置，即，您的问题只是对柯西分布进行推断。在这里你会找到你需要的东西：https ://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution#Estimation_of_parameters$x \sim Cauchy(\alpha, \beta)$$(\alpha, \beta)$