什么操作$C^{-\frac{1}{2}}$指的是基础样本与不相关分量的去相关；$C^{-\frac{1}{2}}$ 用作白化矩阵。在分析原始数据矩阵的每一列/源时，这是很自然的操作$A$（有一个协方差矩阵$C$)，通过一个不相关的矩阵$Z$. 实现这种白化的最常见方法是通过 Cholesky 分解（我们使用$C = LL^T$，请参阅此线程以获取“着色”样本的示例）但在这里我们使用稍微不常见的马氏美白（我们使用$C= C^{0.5} C^{0.5}$）。R 中的整个操作有点像这样：

set.seed(323)
N <- 10000;
p <- 3;
# Define the real C
( C <- base::matrix( data =c(4,2,1,2,3,2,1,2,3), ncol = 3, byrow= TRUE) ) 
# Generate the uncorrelated data (ground truth)
Z <- base::matrix( ncol = 3, rnorm(N*p) ) 
# Estimate the colouring matrix C^0.5
CSqrt <- expm::sqrtm(C)
# "Colour" the data / usually we use Cholesky (LL^T) but using C^0.5 valid too
A <- t( CSqrt %*% t(Z) ) 
# Get the sample estimated C 
( CEst <- round( digits = 2, cov( A )) )
# Estimate the whitening matrix C^-0.5
CEstInv <-  expm::sqrtm(solve(CEst))
# Whiten the data
ZEst <-  t(CEstInv %*% t(A) )
# Check that indeed we have whitened the data 
( round( digits = 1, cov(cbind(ZEst, Z) ) ) )

因此，为了简洁地回答提出的问题：

1. 这意味着我们可以对样本进行去相关$A$与该协方差矩阵相关联$C$这样我们就得到了不相关的分量。这通常被称为美白。
2. 它假设的一般线性代数思想是（协方差）矩阵可以用作投影算子（通过“着色”生成相关样本），但它的逆矩阵也是如此（去相关/“白化”样本）。
3. 是的，通过使用其特征分解将有效协方差矩阵提高到任何幂（负平方根只是一种特殊情况）的最简单方法；$C = V \Lambda V^T$,$V$是一个包含特征向量的正交矩阵$C$和$\Lambda$是一个包含特征值的对角矩阵。然后我们可以很容易地改变对角矩阵$\Lambda$如我们所愿并得到相关结果。

一个展示第 3 点的小代码片段。

# Get the eigendecomposition of the covariance matrix
myEigDec <- eigen(cov(A))
# Use the eigendecomposition to get the inverse square root
myEigDec$vectors %*% diag( 1/ sqrt( myEigDec$values) ) %*% t(myEigDec$vectors)
# Use the eigendecomposition to get the "negative half power" (same as above)
myEigDec$vectors %*% diag( ( myEigDec$values)^(-0.5) ) %*% t(myEigDec$vectors)
# And to confirm by the R library expm
solve(expm::sqrtm(cov(A)))

将协方差矩阵提高到负半幂是什么意思？

通常，当矩阵乘以负整数幂时，会使用此表示法。在这种情况下，符号是取逆和提高幂的简写形式。IE$A^{-2} = (A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$. 看到这个问题。

这可以扩展到分数幂。第一个问题是：什么$A^{1/2}$意思是？好吧，如果$B$是矩阵的平方根 $A$, 这意味着$BB = A$.

这个问题证明了倒数的平方根等于平方根的倒数，所以定义$A^{-1/2} = (A^{1/2})^{-1} = (A^{-1})^{1/2}$.

这假设了线性代数的一般概念是什么？

如果一个矩阵是半正定的，它有一个实平方根（和一个唯一的半正定平方根）。幸运的是，任何有效的协方差矩阵都是半正定的。

有没有什么好的公式可以将协方差矩阵提高到负半幂？

使用该定义，您应该结合求逆和求矩阵平方根的方法。（即求逆，然后求平方根。）这些问题是众所周知的，你不应该有寻找算法的问题。