你可以写：

$$P(a,b,c) = P(a \vert b,c)P(b,c) = P(a \vert b,c)P(c \vert b)P(b)$$

或者，也有效：

$$P(a,b,c) = P(c \vert a,b)P(a,b) = P(c \vert a,b)P(b \vert a)P(a)$$

将两个表达式放在一起：

$$P(a \vert b,c) = \frac{P(c \vert a,b)P(b \vert a)P(a)}{P(c \vert b)P(b)} = \frac{P(c \vert a,b) \pi(a)}{P(c \vert b)}$$

如果这个新的观察不依赖于先前的观察（即），你可以写：$c$$b$$P(b,c) = P(b)P(c)$

$$P(a \vert b,c) = \frac{P(c \vert a) \pi(a)}{P(c)}$$

使用一些更具体的符号可能会有所帮助，因为贝叶斯更新将取决于您使用的模型。

例如，假设您有一个线性回归模型，您在其中进行了回归$y_i$在$\mathbf{x}_i$变量。该模型的系数/参数可以称为$\theta$. 如果你有一批$n$数据点，您可以将您的可能性写为

$$p(\mathbf{y}_{1:n} \mid \mathbf{X}_{1:n}, \theta) = \prod_{i=1}^n p(y_i \mid \mathbf{x}_i, \theta).$$ 只要您选择了一些先前的分布，您的模型就会完成$\pi(\theta)$.

贝叶斯规则状态

$$\pi(\theta \mid \mathbf{y}_{1:n}, \mathbf{x}_{1:n}, \theta) \propto p(\mathbf{y}_{1:n} \mid \mathbf{X}_{1:n}, \theta)\pi(\theta).$$ 如果你有另一行数据（$y_{n+1}, \mathbf{x}_{n+1}$)，然后你可以使用更新你的后验 $$\pi(\theta \mid \mathbf{y}_{1:n+1}, \mathbf{x}_{1:n+1}, \theta) = p(y_{n+1} \mid \mathbf{x}_{n+1}, \theta)\pi(\theta \mid \mathbf{y}_{1:n}, \mathbf{x}_{1:n}, \theta).$$ 因此，当您按顺序更新时，旧的后验分布取代了先验分布。

正如我之前所说，贝叶斯更新将取决于您使用的模型。不同的模型将具有不同的条件独立结构。然而，许多其他模型将类似于最后一个表达式，因为旧的后验被用作先验，并且乘以一些边际“可能性”。