这无异于表明估计向量$\widehat{\boldsymbol{\beta}}$独立于残差向量$\mathbf{e}$。我相信您熟悉模型的矩阵表示法，它使证明非常简短。

回想一下，OLS 估计量由$\left( \mathbf{X}^{T}\mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{Y}$和向量给出残差由$\left(\mathbf{I}-\mathbf{H} \right)\mathbf{Y}$，其中$\mathbf{H}$是由$\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T}\mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{X}^{T}$。假设$\mathbf{Y}$是多元正态的，这是构建有限样本检验和置信区间所需的假设，我们想要做的是利用多元正态变量的线性组合也是多元的事实普通的。因此，我们将这两个重写如下

$$\begin{bmatrix} \widehat{\boldsymbol{\beta}} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left( \mathbf{X}^{T}\mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{X}^{T} \\ \mathbf{I}-\mathbf{H} \end{bmatrix} \mathbf{Y}$$

现在我们需要记住，如果$\mathbf{X}\sim N_p \left(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma} \right)$，那么$\mathbf{AX}\sim N_p \left(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}, \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^{T} \right)$（分布在仿射变换下是封闭的）。我们主要对新的协方差矩阵感兴趣，因为它是对角线将表明变量是独立的，因此我们关注这一点。很容易证明——我把细节留给你——协方差矩阵的形式是

$$\begin{bmatrix} \sigma^2 \left(\mathbf{X}^{T}\mathbf{X} \right)^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \sigma^2 \left(\mathbf{I}-\mathbf{H} \right) \end{bmatrix}$$

因此我们可以得出结论，随机变量是独立的。由于独立于，它也独立于均方误差，正如我们想要展示的那样。$\widehat{\boldsymbol{\beta}}$$\mathbf{e}$$\frac{\mathbf{e}^{T}\mathbf{e}}{n-k}$

请注意，通常缺乏相关性并不意味着独立，这是多元正态分布的一个特殊属性，无疑也是统计学家如此喜爱它的原因之一。

希望这可以帮助。