作为替代方案，我们会尝试使用Skellam 分布作为我们的响应分布。（即我们的结果变量是两个泊松分布的随机变量之间的差异）。它有时用于预测足球/橄榄球的净胜球数。请注意，只需要泊松模型并计算它们的差异可能更简单。SE.SO 有一个相关主题：如何拟合 Skellam 回归？.

理想情况下，您将使用具有离散分布的回归模型，并支持响应变量的整数。这可以通过连续分布来近似，只要模型中的标准误差（即误差项的标准差）与整数之间的单位间隔相比不会太小（这样连续密度变化不大整数之间）。

如果您愿意，您可以采用使用连续响应分布（例如，来自高斯线性模型）的回归模型，然后通过以下方式“离散化”响应分布：$f$

$$\mathbb{P}(Y_i = y | \mathbf{x}_i, \boldsymbol{\beta}) = \int \limits_{y-1/2}^{y+1/2} f(r | \mathbf{x}_i, \boldsymbol{\beta}) \ dr.$$

例如，在高斯线性模型中，没有似然函数：

$$\begin{align} L_{\mathbf{y}, \mathbf{x}}(\boldsymbol{\beta}) &= \prod_{i=1}^n \phi \bigg( \frac{y_i - \mathbf{x}_i \cdot \boldsymbol{\beta}}{\sigma} \bigg), \end{align}$$

您将拥有“离散化”版本：

$$\begin{align} L_{\mathbf{y}, \mathbf{x}}(\boldsymbol{\beta}) &= \prod_{i=1}^n \bigg[ \Phi \bigg( \frac{y_i + \tfrac{1}{2} - \mathbf{x}_i \cdot \boldsymbol{\beta}}{\sigma} \bigg) - \Phi \bigg( \frac{y_i - \tfrac{1}{2} - \mathbf{x}_i \cdot \boldsymbol{\beta}}{\sigma} \bigg) \bigg] \end{align}$$

两种情况下的 MLE 都将非常相似，只要远大于 1。离散化版本的主要缺点是 MLE 不再是 OLS 估计器并且没有封闭形式，因此产生的理论性质处理起来有点棘手（但肯定不是不可能）。$\sigma$