确切的术语可能因来源而异，但根据我从中了解到的来源，第一个称为贝尔曼最优方程或简称为贝尔曼方程。第二个是贝尔曼期望方程。期望方程是线性的$V$，所以你可以解决$V$使用简单的线性代数。另一方面，最优性方程是非线性的（由于最大运算），因此没有封闭形式的解……这就是为什么有许多算法可以找到最优解（Q-learning、值迭代、策略迭代等）。

期望方程通常用于评估已知策略$\pi$，而最优性方程用于学习最优策略$\pi^*$.

一个很好的资源将是关于强化学习的经典教科书Reinforcement Learning: An Introduction，主要是关于动态规划的部分。另一个很好的资源是伯克利在 EdX 上的人工智能公开课程。

它们名称的不同（Bellman 运算符与 Bellman 更新运算符）在这里无关紧要。您将看到其他名称，例如 Bellman 备份操作员。它们都是一样的。基本上是指更新状态值的操作$s$从状态可能达到的其他状态的值$s$.

贝尔曼算子的定义还需要一个策略$\pi(x)$表示在状态下可能采取的行动的概率$s$. 您的示例中 Bellman 运算符的第二个定义意味着更新 state 的值$s$通过从任何预定义的策略中概率性地采取行动 $\pi$. 另一方面，贝尔曼算子的第一个定义只特定于一个策略，即对状态采取行动$s$给出最高的状态值$s$有 100% 的概率。

因此，第一个定义可以看作是第二个定义的一个具体例子：第二个定义适用于任何策略，而第一个定义只适用于给出最高值的最优策略。