让$\mu = EX$和$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$. 然后我们需要展示

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

让$C = E(XX^T)$以便$\Sigma = C - \mu\mu^T$. 使用矩阵行列式引理和存在$C^{-1}$我们可以看到$\Sigma^{-1}$准确地存在于何时$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$. 如果$\mu^T C^{-1} \mu = 1$我们完成了，所以我们假设 WLOG$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$.

然后通过Sherman-Morrison公式，我们有

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ 自从$\Sigma^{-1}$是PSD所以$c \geq 0$.