如果你能说服自己

关于另一部分，您可能必须手动集成。

做很长的路要走，它可以推广到超过 2 个 iid 法线，这里是 MAPLE 中的积分计算：

$EA^2 =$

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

等于 1。

$EA =$

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

这等于$1/\sqrt{\pi}$.

因此，Var(A) =$1-1/\pi =$0.68169 ...这与我的模拟一致。

当然，Var(B) 是相同的。

考虑标准的正常情况（因为概括起来很简单）。让$Z = \max(X,Y)$.

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

因此获得$f_Z(z)$通过差异化。

至于预期，请注意以下几点：

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

进一步注意$\phi(x)^2$可以写成$a\phi(bx)$对于一些常数$a$和$b$. 从那里你应该能够证明

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
（如果没有，请通过区分来显示...）

并通过取导数$x\phi(x)\Phi(x)$您应该能够使用以前的结果来获得$E(Z^2)$.

....或者只是在这里使用定积分表： https ://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions#Definite_integrals

稍加操作，我认为你可以从那里做期望和差异。