普通的旧线性回归具有很好的非参数解释，作为所有观察对的平均线性趋势；参见 Berman 1988，“雅可比定理及其推广”。因此，数据不必为了使用它而看起来是线性的；任何（大体上）单调趋势都可以这样总结。

您还可以使用 Spearman 等级相关性......除此之外可能还有很多其他东西。

两个离散变量之间的“关系量”$X$,$Y$由互信息正式测量：$I(X,Y)$. 虽然协方差/相关性在某种程度上是线性关系的数量，但互信息在某种程度上是（任何类型的）关系的数量。我正在粘贴维基百科页面的图片：

对于连续变量，通常也定义了信息论概念，但不太容易管理，可能意义不大。我暂时不想打扰。让我们坚持离散变量。无论如何，通过离散变量（使用切片）来近似连续变量是有意义的，尤其是在信息论方法中。

信息论概念的问题通常是它们的不切实际。能够近似之间的互信息$X$和$Y$与能够找到它们之间的任意非线性关系相同：您需要的统计功效（数据量）通常远远超出合理范围：对于任何可能的值$x$，您需要许多（比如 1000 个）样本来计算每个样本的估计值$P(Y=y|X=x)$. 这在大多数机器学习或统计分析问题中是不可能的。这是合乎逻辑的：如果您允许模型能够表达“任何可能性”，那么它只能通过覆盖任何可能性的大量数据进行多次训练。

但是，对于低维变量，如果您强制执行低精度，也许这种方法是可能的：分解域$X$和$Y$分成足够小的切片，以便您的数据可以使用。无论如何，我认为这需要一些研究。

最终，单射函数的最一般形式是

$f(x) = y$

您可以使用该函数的离散版本作为数据模型。

然后问题减少到确定预期$y$对于不同的地区$a<x<b$.

由于模型中的高自由度，该方法并不强大。虽然，这也是问题所固有的，它需要在可以描述数据模型的函数类型中具有高度的自由度（和通用性）。

对于更具体的情况，可以进行改进。

需要一种快速计算的方法，类似于相关性，但可以检测例如二次关系。

在另一个答案中提到的 Spearman 相关性符合要求。它的计算方法是简单地将数据转换为等级，然后找到等级的 Pearson 相关性。它可以检测任何单调关联。

还有肯德尔相关性。Kendall 相关性有一个很好的解释，即（重新调整的版本）一个变量上的案例排名与另一个变量上的排名一致的概率。相比之下，Spearman 相关性有点不透明——谁会根据等级之间的线性关系来考虑数据？就计算复杂性而言，Kendall 相关性并不是“快速计算”（它是$O(n \log n)$而斯皮尔曼是$O(n)$)，但它不需要人工判断来计算，并且它已经在许多统计软件中实现，并且对于现代机器，除了最大的数据集外，无症状的复杂性不太重要。