机器算法验证 - 测试独立性，当我缺少一个 2x2 意外事件时 - 吾爱随笔录

我正在寻求一些帮助，为以下情况设计假设检验。

我有一个放射源，它时不时地吐出一个粒子。
另外，我有两个粒子探测器：一个红色粒子探测器和一个绿色粒子探测器。每当红色粒子探测器检测到粒子时，它就会闪烁红灯；让 $R$ 表示粒子被红色检测器检测到的事件，并且 $r$ 红色检测器未检测到粒子的补充事件。每当绿色粒子探测器检测到粒子时，它就会闪烁绿灯；让 $G$ 是绿色检测器检测到粒子的事件，并且 $g$ 它没有。因此，每个发射的粒子都属于以下四个类别之一：
- 由两个检测器检测到（ $RG$ ),
- 由红色检测器检测到，但绿色检测器未检测到（ $Rg$ ),
- 由绿色检测器检测到，但不是红色检测器（ $rG$ ），或者
- 任一检测器均未检测到（ $rg$ ）。
每次发射一个粒子，红色探测器有一定的概率探测到粒子，绿色探测器有一定的概率探测到粒子。（当没有粒子存在时，它们永远不会触发错误检测。）我知道每个粒子的处理方式相同且独立于所有其他粒子，但我不知道这两个检测器是否相互独立。它们可能是独立的（即， $\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$ ），或者它们是相关的（即， $\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$ ); 我不知道是哪种情况，先验的。
我数了数 $RG$ -detections（即两个检测器检测到某物的次数）， $Rg$ - 检测次数（即红色检测器检测到某物但未检测到绿色检测器的次数），以及 $rG$ - 检测。不幸的是，我无法衡量的数量 $rg$ - 情况，因为这些粒子没有被任何一个检测器检测到。在实验结束时，我有三个非负整数，代表这些计数。

我想检验假设 $H$ 这两个检测器是独立的，即那个事件 $R$ 独立于事件 $G$ . 任何人都可以帮助提出一种计算方法 $p$ -这个假设的值，给定来自这样一个实验的 3 个数字？

我会非常满意计算机算法/程序来计算 $p$ -价值。我不需要一个简单的公式；可以由计算机计算的东西就足够了。

这是另一种查看方式。我们可以形成一个 2x2 列联表，例如这个：

     克| G
  ---------
右 | 17 22
r | 12 ?

记录我们看到的 17 $RG$ -事件，22 $Rg$ -事件，等等。不幸的是，右下角的单元格是空的，因为我们不知道有多少 $rg$ -粒子被发射。如果我们对所有四个细胞都有计数，大概我们可以使用 Fisher 精确检验，但我们没有。此外，我们没有得到 $\Pr[R]$ 或者 $\Pr[G]$ （我猜它们是令人讨厌的参数）或发射的粒子总数。

有什么建议么？