假设我们要估计一个期望问题$E(f(X))$， 在哪里$X$是一个已知分布的随机变量，通过模拟和大数定律估计。在这种情况下，对立方法是一种减少估计量方差的方法。

如果$X$是带有 cdf 的一维随机变量$F$, 对偶方法应用如下：

得到一个均匀分布的样本 U$[0,1]$， 然后$X_1=F^{-1}(U)$ 有 F 作为 cdf，并且$Y_1=F^{-1}(1-F(X_1))$也有 F 作为 cdf 和$X_1$和$Y_1$有负相关。然后 E(f(X)) 估计为$\frac{\sum_{i=1}^N f(X_i)+f(Y_i)}{2N}$.

以下是我的问题：

1. 如果$X_1$和$Y_1$有负相关，那么为了减少估计量的方差，是否正确$f(X_1)$和$f(Y_1)$一定也有负相关吗？条件是什么$f$这是真的吗？

2. 如果$X$是一个多元随机变量，因为它的 cdf$F$没有分位数逆F^{-1}，在一般情况下是否仍然可以应用对立方法？如果考虑特殊情况，其中的组件$X$是独立的，是否可以应用对立的方法？如果是怎么办？

3. 我注意到对立也增加了样本，而实际上没有对任何分布进行更多抽样。我记得增加样本量也会减少 LLN 估计量的方差。如果估计量的方差可以通过对立的方法降低，样本量的增加贡献了多少，样本之间引入负相关贡献了多少？如果使用与对偶加倍后的样本大小相同的 iid 样本，哪个样本的方差会更小？

谢谢并恭祝安康！