机器算法验证 - 这些的估计量是渐近正态分布的吗？磷( X<是)P(X<Y) - 吾爱随笔录

这些的估计量是渐近正态分布的吗？磷( X<是)P(X<Y)

机器算法验证可能性置信区间渐近的

2022-04-06 00:45:03

我有两个连续的随机变量和，它们的分布是未知的。我可以从中抽取样本，特别是，我有兴趣根据这些样本假设每个样本有元素：来自和来自。 $X$ $Y$ $P(X<Y)$ $n$ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $X$ $y_1, y_2, \ldots, y_n$ $Y$

我可以使用作为如果我假设和是独立的并且这样的估计量是渐近正态分布的吗？如果我知道

T = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} I (x_{i} < y_{j})

$T=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}I(x_i < y_j)$

P (X < Y)

$P(X<Y)$

X

$X$

Y

$Y$

另外，如果我假设和是相关的，我可以使用作为所述概率的估计量并且是它渐近正态分布？ $X$ $Y$

S = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} I (x_{i} < y_{i})

$S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}I(x_i < y_i)$

我问的是渐近正态性，因为我想确定的下限和上限，并认为置信区间可以起到这样的作用。 $P(X<Y)$

PS如果为真，。 $I(E)=1$ $E$ $0$

2个回答

统计量统计量的一个示例，由 Hoeffding 在其 1948 年的论文A 类渐近正态分布的统计量中引入。此外，它是该类中最著名的，即Mann-Whitney U 检验。它的均方误差低于，因为它等于，由于阶数统计足够，可以应用Rao-Blackwell 定理。此外，它是正态分布的，这是从 U 统计量的一般定理得出的事实章节 $T$ $U$ $S$ $E\left(S\mid X_{\left(1\right)},X_{\left(2\right)},\ldots,Y_{\left(1\right)},Y_{\left(2\right)},\ldots\right)$ $U$ $U$ - 统计数据，例如 Lehmann 的大样本元素理论 或 Serfling 的数理统计近似定理。可以在维基百科上找到它的有限分布，并进行少量样本修正。, 它是通过函数在 R 中实现的（带有选项）。 $\mathtt{wilcox.test}$ $\mathtt{paired=FALSE}$

请注意，Mann-Whitney U 检验的定义不明确。有时它被定义为上面的，但有时它会将“的胜利”计为正数，将“的胜利数”计为负数。这是在例如 R 函数中采用的方法。 $T$ $x_i$ $y_i$ $\mathtt{wilcox.test}$

对于两个估计量都是渐近正态的，这是一个相当直接和直观的论点。

调用

T (X | y_{1}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} I (x_{i} > y_{1})

$T(X|y_1)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I(x_i>y_1)$

与一样，中心极限定理意味着这是渐近正态的。 $S$

此外，取

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} T (X | y_{i})

$T = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} T(X|y_i)$

由于每个是渐近正态的，并且正态变量的任何线性组合都是正态的，也必须是渐近正态的。 $T(X|y_i)$ $T$

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