机器算法验证 - 一组独立同分布正态随机变量的中位数的均值和方差是多少？ - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性正态分布随机变量中位数

2022-03-20 00:52:42

让 $X_1$ , ..., $X_n$ 是相同独立分布的随机变量 $N(\mu, \sigma^2)$

很容易证明样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum^n_{i = 0}{X_i}$ 是一个随机变量 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ .

但是，我很难找到样本中位数的分布 $median(X)$ 是，尤其是在其均值和方差方面。

我问是因为我试图在预定义的组中总结一些特性，以减少我必须在两个条件之间进行的测试数量。

如果对此没有简单的答案，正如我所怀疑的那样，我有兴趣了解 $median(X)$ ，尤其是它与 $\bar{X}$ .

1个回答

中位数是观察数为奇数时的中心阶统计量。如果 $n$ 即使这样，中位数也是一个顺序统计量，或者是 2 个顺序统计量（或其他东西）的平均值，具体取决于您使用的中位数的定义。

因此可以根据订单统计的分布情况计算出中位数的准确分布。对于奇数 $n$ 所有的 $x$ 是来自 pdf 的 iid $f$ 累积分布 $F$ 中位数的分布是：

$\binom{n-1}{(n-1)/2} F(x)^{\frac{n-1}2} f(x) (1-F(x))^{\frac{n-1}2}$

您可以谷歌“订单统计分布”以获取更多详细信息和推导。

对于正常情况，我们没有的封闭形式解决方案，但有计算工具可以帮助估计上述情况（请参阅 R 的 distr 包以了解一种可能性）。 $F(x)$

如果您的主要目标只是估计中位数的方差，那么更简单的方法是模拟一堆数据集并计算它们的中位数的方差（以及它们的比较均值的方差）。

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