在某种意义上，协变量在回归模型中高度相关是“不好的”，即它可能导致多重共线性。但是，我认为声称斜率和截距之间的相关性是共线的并不是很有意义。

也就是说，您的问题实际上是关于斜率和截距之间如何存在相关性，而这些总是只有点。这种混乱是完全合理的。问题是事实以一种不精确的方式陈述。（我不是在批评写这句话的人——我一直都这么说。）$2$

陈述基本事实的更精确的方法是斜率和截距的采样分布是相关的。一个简单的方法是通过简单的模拟：从单个数据生成过程中生成和然后您可以计算相关性，或根据需要绘制它们。$X$$Y$

set.seed(6781)  # this makes the example exactly reproducible

B         = 100  # the number of simulations we'll do
N         =  20  # the number of data in each sample
estimates = matrix(NA, nrow=B, ncol=4)  # this will hold the results
colnames(estimates) = c("i0", "s0", "i1", "s1")
for(i in 1:B){
  x0 = rnorm(N, mean=0, sd=1)  # generating X data w/ mean 0
  x1 = rnorm(N, mean=1, sd=1)  # generating X data w/ mean 1
  e  = rnorm(N, mean=0, sd=1)  # error data
  y0 = 5 + 1*x0 + e            # the true data generating process
  y1 = 5 + 1*x1 + e
  m0 = lm(y0~x0)               # fitting the models
  m1 = lm(y1~x1)
  estimates[i,1:2] = coef(m0)  # storing the estimates
  estimates[i,3:4] = coef(m1)
}
cor(estimates[,"i0"], estimates[,"s0"])  # [1] -0.06876971  # uncorrelated
cor(estimates[,"i1"], estimates[,"s1"])  # [1] -0.7426974   # highly correlated
windows(height=4, width=7)
  layout(matrix(1:2, nrow=1))
  plot(i0~s0, estimates)
  abline(h=5, col="gray")  # these are the population parameters
  abline(v=1, col="gray")
  plot(i1~s1, estimates)
  abline(h=5, col="gray")
  abline(v=1, col="gray")

对于一些相关信息，阅读我的其他一些答案可能会有所帮助：

1. 如何解释线性回归中的系数标准误差？
2. 是否所有斜率系数都与多元线性回归中的截距相关？
3. 为什么 x¯ 从 0 开始，截距的标准误差会增加？

编辑：
根据您的评论，我认为您的担忧是基于以下引用：

在复杂的模型中，像这样的强相关性会使模型难以适应数据。所以我们会尽可能地使用一些魔像工程技巧来避免它。第一个技巧是居中。

从：

• McElreath, R. (2015)。Statistical Rethinking: A Bayesian Course with examples in R and Stan。查普曼和霍尔。

（请注意，我没有读过这本书。）作者的担忧是完全合理的，但它与模型的质量或它将支持的推理没有任何关系。问题在于用于估计模型的方法中可能出现的计算问题。进一步注意，居中不会改变模型的任何实质性内容，这是贝叶斯估计中的一个问题，但对于通过普通最小二乘估计的常客模型（如上面的那些）来说不会是一个问题。

阅读以下内容可能会有所帮助：

• 在进行多元回归时，什么时候应该将预测变量居中以及什么时候应该标准化它们？

R 命令cov2cor(vcov(fitted_model))将返回回归估计的协方差矩阵。它与成正比，这意味着在斜率和截距完全相关的极端情况下，协方差矩阵是秩不足的。$(X'X)^{-1}$

因为不存在秩亏矩阵的逆矩阵，所以出现这种情况的唯一方法是当矩阵开始时秩亏，这是完美多重共线性 (PM)的定义。PM 可能会给推理带来问题，但通常对预测没什么大不了$X'X$

广义上讲，我们计算 OLS 估计值的方法是首先找到点 ($\bar{x},\bar{y}$）。该点将位于最小化均方误差 (MSE) 的线上。然后我们取一条穿过该点的线并旋转它，直到找到斜率（$\hat{\beta}_1$) 最小化 MSE。该点和斜率组合定义了 OLS 线（以及截距）。

为了找到截距，我们找到那条线在 y 轴上的位置。每个单元$x$我们移动，我们将移动$\hat{\beta}_1$单位$y$从我们的初始点。因此，截距可以计算为：$\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$.

这个公式相对清楚地说明了为什么我们的估计之间存在关系$\hat{\beta}_1$和$\hat{\beta}_0$. 除非$\bar{x}=0$，如果我们稍微增加对斜率的估计，我们对截距的估计也必须稍微改变。

在渐近论证中，随着我们的样本略有变化，这变得不太清楚，因为均值 ($\bar{x},\bar{y}$) 也改变。但是在任何给定的样本中，我们对斜率和截距的信念之间存在紧密的关系。