在这种情况下，您实际上是在比较3 个模型之间因此，您需要检查以下问题：$\epsilon_i$

1. 的平均值是否不同，这些平均值中的任何一个是否不同于 0？（也就是说，任何模型都存在偏差，这 3 个模型的偏差是否不同？）$\epsilon_i$
2. 与从相应模型预测的值或自变量的值是否存在系统关系？即使特定模型仅使用其中的 1 个或 2 个，您也应该在此处考虑所有三个自变量。$\epsilon_i$$x_{1,i},x_{2,i}, x_{3,1}$
3. 方差是否存在显着差异？$\epsilon_i$

如何最好地解决这些问题的细节将取决于您的数据的性质。例如，如果和对数转换的预测之间的差异进行分析可能是有意义的您的每个模型。$y_i$$y_i$

分布进行可视化分析，例如使用密度图，将是重要的第一步。$\epsilon_i$

的平均值差异的标准参数或非参数统计测试将解决问题 1。$\epsilon_i$

问题 2 本质上是检查任何拟合模型的质量；在您的情况下，此分析可能会显示您的一个或多个预先指定的模型无法正常工作的自变量域。与预测值和自变量值的图，用黄土曲线突出趋势，对于您的每个模型都是有用的。$\epsilon_i$

如果任何模型都没有偏差并且对问题 2 的分析表明没有问题，那么剩下的问题 3 是任何模型在精度/方差方面是否优越。在每个模型中正态分布的的理想情况下， F 检验可以检验方差的相等性。$\epsilon_i$

模型的概率比较，例如涉及从$\epsilon$有一些数据（并且来自这个 AIC 或比率测试），没有什么意义。

这是因为

1. 你已经确定模型会出错。
2. 您最终得到的残差与您用来检验不同假设的假设误差分布无关。（您没有统计/概率模型）
3. 您的目标不是检验假设（基础/纯科学），而是描述简化模型的预测性能（应用科学）。

大多数情况下，人们根据预测的错误百分比来描述模型。

例子：

• 基于不同非牛顿雷诺数的复合幂律摩擦因数-雷诺数相关性预测污泥管流压降

  结果表明，对于给定的污泥浓度和操作条件，这些相关性可用于预测压降在 ±20% 以内。

• 基于固体颗粒悬浮液流变学预测纳米流体的有效粘度

  本模型适用于平均偏差低于 5% 的 501 个粘度值，其中 75% 的相关系数在 0.78-1 范围内。

• 人工智能在沥青-橡胶粘度建模中的应用

  图 2 显示了测量粘度 ($\rho$) 和爱因斯坦模型计算的粘度。计算值和测量值之间的差异证实了沥青基料和橡胶颗粒之间的物理相互作用增强。

• 估计亨利定律常数的键贡献法

  对于 345 个化合物数据集的已知 LWAPC（对数水-空气分配系数）和键估计 LWAPC 之间的关系，确定了 0.94 的相关系数 (r2)。

基本上你可以用谷歌搜索任何简化现实的模型，你会发现人们用相关系数或变异百分比来描述他们与现实的差异。

我想检验“现象 A” x_3,i 对 y. 模型 f合并了现象 A while g 而 h没有，所以如果我的假设是正确的，我会预测该模型的 f性能明显优于 g 或 h。

对于此类比较，您可以将测量的性能视为样本，即从更大（假设的）性能群体中提取的样本。

所以你有点希望描述错误的总体分布参数$\epsilon$ 并比较那些。您可能会认为这是概率性的。例如，您可以将其表述为“模型的平均误差是 $y \pm x$' . 您的假设是关于描述错误分布的那些参数。

然而，这种观点有点问题，因为通常用于衡量绩效的“样本”并不是真正的随机选择（例如，它是在预先定义的范围内或在选定的一组实际项目中进行的测量）。那么，任何对一般性能估计误差的量化都不应该基于随机选择模型（例如，使用样本中的方差来描述估计的误差）。因此，使用概率模型来描述比较仍然没有什么意义。仅陈述描述性数据并根据逻辑参数对概括进行“估计”可能就足够了。