光子到达图像传感器中的像素是泊松分布的随机变量，因此输入可以建模为泊松 rv$X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$.

由于输入是泊松，均值和方差相等，使得

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$$

现在，当光子输入通过线​​性图像传感器（相机）产生数字输出时，我们可以将其视为$X$这样的输出，$Y$是$Y=X/g$.

在这个线性传感器的情况下，我可以提取“转换增益”，即产生一个数字输出所需的光子数，表示为$g$以（光子/数字#）为单位，如

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$$

然而，现在考虑一个转换增益线性依赖于输入的传感器，例如$Y=X/(aX+b)$在哪里$a>0$和$b>0$. 这意味着增益是信号的增函数$g(x)=ax+b$.

在这种非线性传感器的情况下，无法再从输出端的均值与方差的比率中找到增益

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$$

事实上，对于任何输入信号电平，测得的转换增益都大于实际的转换增益。

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$$

对此的部分解释是 Jensen 不等式，它指出对于一些随机输入的增加凹变换$X$， IE$Y=f(X)$：

$$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$$

就我而言$Y=X/(aX+b)$实际上是一个递增的凹函数，这意味着输出处的测量平均值小于输入的变换平均值。由于我们知道输出端的测量增益被高估而测量的平均值被低估，这意味着测量的方差比平均值更被低估。

我怎样才能证明这一点或用数学方法写出这个？Jensen 不等式是否可以推广方差？我能否准确说明为什么在此示例中高估了增益？