机器算法验证 - 两个正态分布变量的乘积分布何时接近正态分布？ - 吾爱随笔录

两个正态分布变量的乘积分布何时接近正态分布？

机器算法验证分布正态分布随机变量正态假设

2022-04-05 10:32:16

很明显，正态分布变量的乘积不是正态分布的。例如，如果 $X \sim N( \mu_1,\sigma_1^2)$ , $Y \sim N( \mu_2,\sigma_2^2)$ ，然后 $XY$ 没有分布 $N( \mu_1 \mu_2,\mu_1^2 \sigma_1^2+\mu_2^2\sigma_1^2)$ .

有人告诉我，即使分配 $XY$ 不是正态分布，分布 $XY$ 接近正态分布，当 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 没那么小， $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 没有那么大。这是真的吗？

尝试以下 R 代码：

    n1 <- rnorm(10000,0,.005)
    n2 <- rnorm(10000,0,.005)
    n  <- n1*n2
    d  <- density(n)
    plot(d,lwd=2)
    x  <- par('usr')
    dn <- dnorm(d$x,mean=mean(n),sd=sd(n))
    x  <- seq(x[1],x[2],length.out=length(dn))
    lines(x, dn ,col=2, lwd=2)
    legend('topright', legend=c('Estimated density', 'Normal 
    distribution'), lwd=2, lty=c(1,1),col=c(1,2))

似乎只有当两个条件都满足时，分布才接近正态分布。有没有理论分析？

1个回答

（这个答案使用了@whuber 的部分评论）

让 $X,Y$ 是两个独立的法线。我们可以将产品写为

X Y = \frac{1}{4} ((X + Y)^{2} - (X - Y)^{2})

$XY = \frac14 \left( (X+Y)^2 - (X-Y)^2 \right)$ 将具有两个非中心卡方随机变量的差异分布（按比例缩放）（如果两者都具有零均值，则为中心）。请注意，如果方差相等，则这两项将是独立的。由于卡方分布是伽玛的一种情况，因此伽玛随机变量的通用总和是相关的。我将给出一个非常特殊的情况，取自百科全书参考https://www.amazon.com/Probability-Distributions-Involving-Gaussian-Variables/dp/0387346570

什么时候 $X$ 和 $Y$ 是独立的，具有可能不同方差的零均值乘积的密度函数 $Z=XY$ 是（谁）给的

f (z) = \frac{1}{π σ_{1} σ_{2}} K_{0} (\frac{| z |}{σ_{1} σ_{2}})

$f(z)= \frac1{\pi \sigma_1 \sigma_2} K_0(\frac{|z|}{\sigma_1 \sigma_2})$ 在哪里

K_{0}

$K_0$ 是第二类修正贝塞尔函数。

这可以用 R 写成

    dprodnorm  <-  function(x, sigma1=1, sigma2=1) {
       (1/(pi*sigma1*sigma2)) * besselK(abs(x)/(sigma1*sigma2),  0)
    }
    ### Numerical check:
    integrate( function(x) dprodnorm(x), lower=-Inf,  upper=Inf)
    0.9999999 with absolute error < 3e-06

让我们绘制这个，连同一些模拟：

    set.seed(7*11*13)  
    Z  <-  rnorm(10000) * rnorm(10000)
    
    hist(Z, prob=TRUE, nclass="scott", ylim=c(0, 1.5), 
            main="histogram and density of product of independent 
                  normals")
    plot( function(x) dprodnorm(x),  from=-5,  to=5,  n=1001,  
          col="red", add=TRUE, lwd=3)
    ### Change to nclass="fd" gives a closer fit

该图非常清楚地表明分布并不接近正态分布。

所述参考确实也给出了更多涉及的情况（非零意味着......），但是密度函数的表达式变得如此复杂，以至于它们只给出特征函数，这仍然相当简单，并且可以反转以获得密度。

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