根据定义，估计量是一个函数将可能的结果映射到实数。如果这是无偏的，那么——写 p——对于区间中的所有 ，期望必须等于。将期望的定义应用于几何分布概率的公式给出$t$$\mathbb{N}^{+} = \{1,2,3,\ldots\}$$q=1-p$$1-q$$q$$[0,1]$

$$1-q = \mathbb{E}(t(X)) = \sum_{k=1}^\infty t(k) \Pr(X) = (1-q)\sum_{k=1}^\infty t(k) q^{k-1}.$$

对于我们可以将两边除以，揭示在区间中的收敛幂级数表示的系数。当且仅当它们逐项一致时，两个这样的幂级数在该区间内可能相等，因此$q\ne 1$$1-q$$t(k)$$1$$[0,1)$

$$t(k) = \begin{cases} 1 & k=1 \\ 0 & k \gt 1 \end{cases}$$

是的唯一无偏估计量。$p$

更新。重写我之前草率的答案。

没有无偏估计量，这是证明。$p$

估计器是有偏差的，但您最好了解 MLE 或矩量法。 这是 Math SE 中的推导。$p=\frac{1}{k}$