诀窍是$\mathbb{E}(\hat{\theta}) - \theta$是一个常数。

关于重点和从第三行到第四行的步骤模棱两可的问题存在一些混淆。

有两个术语看起来很像。

$$\mathbb{E}\left[\hat{\theta}\right] - \theta \quad \text{vs} \quad \mathbb{E}\left[\hat{\theta}\right] - \hat\theta$$

关于从第 3 行到第 4 行的步骤的问题与第一项有关：

• $\mathbb{E}[\hat{\theta}] - \theta$这是估计器的偏差$\hat\theta$

  每次采样时，偏差都是相同的（常数）值，因此您可以将其从期望运算符中取出（这就是从第 3 行到第 4 行的步骤，取出常数，完成）。

  请注意，您不应将此解释为贝叶斯分析，其中$\theta$是可变的。它是一种频率分析，它以参数为条件$\theta$. 所以我们更具体地计算$\mathbb{E}[(\hat{\theta} - \theta)^2 \vert \theta]$,平方误差的期望值$\theta$， 代替$\mathbb{E}[(\hat{\theta} - \theta)^2]$. 这种条件作用通常隐含在常客分析中。

关于高亮表达式的问题是关于第二项的

• $\mathbb{E}[\hat{\theta}] - \hat{\theta}$这是估计量与平均值的偏差$\hat{\theta}$.

  它的期望值也称为第一个中心矩，它始终为零（这就是突出显示的步骤，将期望值设为零的方式）。

$E(\hat{\theta}) - \theta$不是一个常数。

@user1158559 的评论其实是正确的：

$$E[\hat{\theta} - E(\hat{\theta})] = E(\hat{\theta}) - E[E(\hat{\theta})] = E(\hat{\theta}) - E(\hat{\theta}) = 0$$