在我的领域中，当研究人员考虑在因子分析中保留多少因子或在 PCA 中保留多少分量时，通常使用并行测试和 Velicer 的最小平均偏 (MAP) 测试。
我发现并行测试相当直观——我们想要比从随机数据派生的因子/分量解释更多方差的因子/分量。
据我了解，在 MAP 测试中，我们仅使用一个因子/分量进行 PCA/因子分析，然后将该 PC/因子从观察变量之间的相关性中剔除，然后我们计算平均平方偏相关系数偏相关矩阵的非对角线。然后我们用两个因素/组件重复这个过程，依此类推。然后我们寻找导致最低平均平方相关系数的因素/成分的数量。
在某种程度上，我认为我了解上述过程的机制，但我不明白它与选择适当数量的因素/主要成分有何关系。原始论文很短且可读性强，但我读后并没有感觉到我直观地理解了这个概念。
韦利瑟，WF (1976)。从偏相关矩阵中确定分量的数量。心理测量学，41（3），321-327。
我认为可以通过查看部分相关公式来掌握 MAP 背后的直觉，该公式包含在 Velicer (1976) 论文（方程式 11）中，为方便起见，我也将其写在这里：
在分子处，您有每对变量之间的部分协方差和; 由于您正在消除系统方差，因此该数字会随着您分出更多组件而下降。您将这个数字除以得到归一化，就像您将协方差除以标准差的乘积一样，以获得介于 -1 和 +1 之间的相关系数。该分母包含两个变量和分量之间的两个相关项你正在删除。这些相关项会随着您不断删除组件而上升，因为组件将包含越来越多的个体可变性/噪声。这使得分母整体下降。因此，当您删除更多组件时，分子和分母都会下降，前者是因为部分协方差下降，因为您正在删除共同/系统变异性，后者是因为组件捕获越来越多的个体变异性。
现在，分母开始比分子下降得更快，因为您在数据中消除的个体变异性多于系统变异性。这使得偏相关性上升。MAP 标准计算偏相关的平均值，并告诉您在平均偏相关停止下降并开始上升时停止，即当您开始删除比数据中的常见可变性更多的个体可变性时。