机器算法验证 - 解释纯 MA 过程的偏自相关函数 - 吾爱随笔录

机器算法验证时间序列有马自相关随机过程

2022-03-19 14:24:14

我一直在研究一些时间序列理论，我注意到一些我可以“从数学上”理解的东西，但不是基于对偏自相关函数 (PACF) 应该代表什么的直观解释：一个给定的滞后，消除了较小相关性的影响。

对于纯自回归时间序列 (AR)，自相关函数 (ACF) 显示预期的缓慢衰减，而 PACF 在 AR 过程中涉及的最大滞后处被截断。直觉上，这一切对我来说都是有意义的。

现在......当我们得到一个纯移动平均过程 (MA) 时，行为被“逆转”，ACF 被截断，PACF 衰减。然而，在对 ACF 和 PACF 的直观解释下，我无法（直观地）看到为什么 PACF 会显示超出 MA 时间序列构建所涉及的滞后的正自相关？

例如，以 MA(2) 过程为例：

$Z_{t+1}=\varepsilon_{t-1} + \varepsilon+{t}\;\; [\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1)]$

现在，有了这个，我可以看到为什么 ACF 会在滞后 > 1 时截断。但是，PACF 会缓慢衰减，因此即使对于不产生相同影响的滞后，部分自相关也会是正的 $Z_t$ ...因此，对于 MA 流程，PACF 真正告诉我们的是什么？它不能告诉我们“早期滞后未考虑的滞后之间的关系”

我最初的想法是，由于 AR 和 MA 过程是对偶的，因此 ACF 和 PACF 计算的实际结果也是对偶的，因此将 PACF 计算应用于 MA 过程相当于将 ACF 计算应用于对偶 AR 过程。因此，对于 AR 流程，这些名称实际上只是直观上正确的。会是这样吗？

1个回答

当您处理 AR 和 MA 过程时，您正在查看“反转”的主要原因是这些过程通常具有它们与其他过程的形式可逆的属性（只要模型中的系数是在单位圆内）。所以一个有限的AR过程可以表示为一个无限的MA过程，一个有限的MA过程可以表示为一个无限的AR过程。对于一般 MA(q) 过程，您有：

Z_{t} = (1 - \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} B^{i}) ϵ_{t} = \prod_{i = 1}^{q} (1 - τ_{i} B) ϵ_{t},

$Z_t = \Bigg( 1 - \sum_{i=1}^q \theta_i B^i \Bigg) \epsilon_t = \prod_{i=1}^q (1 - \tau_i B) \epsilon_t,$

在哪里 $B$ 是后移运算符。如果 $\max|\tau_i| < 1$ （这样所有的系数都在单位圆内）那么这个过程是可逆的，我们有：

ϵ_{t} = \prod_{i = 1}^{q} (1 - τ_{i} B)^{- 1} Z_{t} = \prod_{i = 1}^{q} (\sum_{k = 0}^{\infty} τ_{i}^{k} B^{k}) Z_{t} .

$\epsilon_t = \prod_{i=1}^q (1 - \tau_i B)^{-1} Z_t = \prod_{i=1}^q \Bigg( \sum_{k=0}^\infty \tau_i^k B^k \Bigg) Z_t.$

重新排列这个表达式给出了 AR( ) 过程： $\infty$

Z_{t} = [\prod_{i = 1}^{q} (\sum_{k = 0}^{\infty} τ_{i}^{k} B^{k}) - 1] Z_{t} + ϵ_{t} .

$Z_t = \Bigg[ \prod_{i=1}^q \Bigg( \sum_{k=0}^\infty \tau_i^k B^k \Bigg) -1 \Bigg] Z_t + \epsilon_t.$

现在，PACF 为您提供给定滞后的条件相关性，条件是了解中间时间的值。对于 AR 过程，这会测量过程中的自相关。因此，对于可逆 MA 过程，PACF 将测量与该过程对应 $\infty$ ) 过程中的自相关。测量的 PACF 值将逐渐衰减，因为被测量的 AR 过程是无限的。

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