机器算法验证 - 中一组不同点的随机旋转RnRn - 吾爱随笔录

中一组不同点的随机旋转RnRn

机器算法验证线性代数随机矩阵

2022-03-24 17:30:16

考虑一个集合的不同点在与有限。第值不必都是明确的。例如，在中，点可以放置在规则网格上，以便多个点具有相同的 x 或 y 坐标。 $\{\mathbf{X}_1,\cdots , \mathbf{X}_M\}$ $\mathbb{R}^n$ $M$ $M$ $i$ $\mathbb{R}^2$

现在让我们考虑一个旋转，它将原始集合映射到一个新集合。 $\{\mathbf{X}_1', \cdots, \mathbf{X}_M'\}$

我想表明，如果我们随机选择旋转，即如果我们在随机正交基础上进行投影，个坐标值都是不同的概率几乎一。 $M$ $i$ $i=1, \cdots, N$

直觉上听起来应该是这样。但我没有随机矩阵的经验，我想知道我可以从哪里开始。

2个回答

考虑

$y = Ux$

其中是一些随机矩阵（正交或其他）。由于您只对坐标行与您的工作相关。因此，您基本上只对属性感兴趣 $U$ $m^{th}$ $m^{th}$ $U$

$z_{i} = u^{T}x_{i}$ ,

其中是行。正交矩阵部分似乎不是特别相关；对于您的情况，本质上是一个随机单位向量。 $u$ $m^{th}$ $u$

假设和旋转相同。然后我们有 $i^{th}$ $j^{th}$

$u^{T}(x_{i} -x_{j}) = 0$ 。

这意味着

$u^{T}(x_{i} - x_{k}) = - u^{T}(x_{j} - x_{k})$

对于所有。如果你的观点有一些结构，也许你可以使用这样的东西？ $k$

一般来说，什么都不能说。如果任何对，那么您考虑的结果不成立 $x_{i} = x_{j}$ $(i,j)$

重述问题。 令是确定性向量，使得没有两个向量和在所有分量中都相同，并且让是从圆形实系 CRE中抽取的随机酉矩阵。您的问题要求我们证明对于所有，随机数具有以下属性： 财产证明。 受工会约束， $X_1,\ldots,X_M\in \mathbb R^n$ $X_j$ $X_k$ $A$ $(n)$ $1\leq i\leq n$ $\{(AX_j)_i\colon j=1,\ldots,M\}$

P (\exists j \neq k \in 1, \dots, M : (A X_{j})_{i} = (A X_{k})_{i}) = 0.

$\mathbb P\bigl(\exists j\not= k\in 1,\ldots, M\colon (AX_j)_i=(AX_k)_i\bigr)=0.$

P (\exists j \neq k \in 1, \dots, M : (A X_{j})_{i} = (A X_{k})_{i}) \leq \sum_{j \neq k} P ((A X_{j})_{i} = (A X_{k})_{i}) .

$\mathbb P\bigl( \exists j\not= k\in 1,\ldots, M\colon (AX_j)_i=(AX_k)_i\bigr)\leq \sum_{j\not=k}\mathbb P\bigl((AX_j)_i=(AX_k)_i\bigr).$ 由于随机向量均匀分布在半径为（并且通过假设），因此事件的概率。事实上，这个事件描述了属于某个大圆的球体的均匀随机元素，该大圆的余维数为。因此，所讨论的概率也为零。

A (X_{j} - X_{k})

$A(X_j-X_k)$

‖ X_{j} - X_{k} ‖

$\|X_j-X_k\|$

‖ X_{j} - X_{k} ‖ > 0

$\|X_j-X_k\|>0$

{(A (X_{j} - X_{k}))_{i} = 0}

$\Bigl\{\bigl(A(X_j-X_k)\bigr)_i=0\Bigr\}$

0

$0$

1

$1$

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