对于 rx,y 的值范围，我们可以 [...] 继续使用线性回归来预测 Y？

如果关系确实是线性的，那么任何相关值都可以起作用；线性回归在整个相关范围内（包括 0）表现得应有尽有。您甚至不需要事先检查相关性（它似乎没有任何用途，但通常的回归计算尚未涵盖）。

但是，这是一个很大的如果。您可以获得任何相关性（除了恰好 1 或 -1）并且没有线性；大（幅度）相关并不一定意味着关系实际上是线性的（也不意味着它不是线性的）；相关性本身并不是确定线性回归模型适用性的有用方法。

在多元回归的情况下，检查双变量相关性甚至更成问题，因为边际双变量相关性可能与您在多元回归模型中得到的完全不同。（例如，参见关于辛普森悖论和遗漏变量偏差的维基百科文章。）

但是，如果您对回归是否在预测方面做有用的事情感兴趣，我们需要准确地确定“有用”的意图。在某些情况下，这可能归因于相关值。

另一方面，如果您要问“我们如何对 Pearson 相关性进行假设检验？” 您可能应该编辑问题以使其明确。在适当的假设下，您可以在包装中轻松获得“标准”测试 - 或者相当容易地手动执行。[但是，您不仅限于这些特定假设，还可以进行 Pearson 相关性的其他检验——包括非参数检验。]

有充分证据的效果和强烈的效果是有区别的。例如，有充分的证据表明吃培根会致癌，但风险很低；并且有微弱的证据表明吸食大麻叶会导致癌症，但风险可能很高。（造成差距的原因是培根食用者比吸食大麻的人受到更多的医疗监督。）

因此，对相关性是否得到充分证明的有用统计检验不是基于相关系数，而是基于样本量。

情况的另一个重要特征是相关性解释了多少变化：这是 R 平方统计量，即决定系数。

通常，“重要性”一词的含义是“$\rho$在统计上与零有显着差异”。然而，这并不是大多数用户的$\rho$感兴趣，因为原假设$\rho$正好为零几乎可以肯定是错误的。因此，对于足够大的样本量，即使是与零的最小偏差也会变得“显着”。

相关性是否强通常更令人感兴趣。什么被认为是“强”相关性取决于该领域，但这里是从介绍性教科书中获取的经验法则（这里是同一规则的在线参考）：

$$\begin{eqnarray*} |\rho|\leq 0.3: & & \mbox{weak correlation}\\ 0.3 < |\rho|\leq 0.7: & & \mbox{moderate correlation}\\ |\rho|> 0.7: & & \mbox{strong correlation}\\ \end{eqnarray*}$$ 因此，我建议，不要针对$\rho=0$，但要报告置信区间$\rho$. 您可以在此处找到公式，并且大多数统计软件包都提供了为您计算它的函数，例如cor.test在 R 中。然后您可以看到该区间与“弱”范围重叠的程度。

您可以使用以下测试来检查之间是否存在显着相关性$X$和$Y$. 假设您有观察结果$(x_i,y_i), i =1,\dots,n$.

原假设和备择假设由下式给出：

$$H_0: \, \rho = 0 \quad vs. \quad H_1: \rho \neq 0$$ 检验统计量由下式给出： $$T = \sqrt{n-2}\frac{\hat{\rho}}{\sqrt{1-\hat{\rho}^2}}\overset{H_0}{\sim} t_{n-2}$$ 在哪里$\hat{\rho}$是相关系数的样本估计，即 $$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n((x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}))}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2} }$$

因此，如果 null 被拒绝$\vert T\vert >t_{n-2;1-\frac{\alpha}{2}}$.