当你写“没有额外的变量，每个事件都是孤立的，不影响后续”时，数学上的说法是它们是独立的。对于独立事件$A$和$B$, 两个事件发生的概率是$P(A) \times P(B)$. 此外，如果存在三个独立事件$A$,$B$和$C$, 那么这三个发生的概率由下式给出$P(A) \times P(B) \times P(C)$. 如果每个事件都有概率$0.4$那么你想要的概率是$0.4^3=0.064=6.4\%$

凭直觉，假设我们从 100 人开始。（我通过考虑一大群人的可能结果来可视化概率的方法受到了由 David Spiegelhalter 领导的剑桥大学Winton 计划的工作的启发，该计划旨在让公众了解风险。参见例如这个癌症风险动画。 )

那么只有$40\%$在第一次事件中幸存下来。这样就只剩下四十人了。

那么只有$40\%$这些幸存者中也有幸免于第二次事件。这离开$40\%$四十人，也就是十六人。在第一次和第二次事故中幸存的一百人中的一个的概率显然是一百分之十六，即$\frac{16}{100} = 0.16 = 16\%$.

现在你能看到这如何延伸到第三个事件吗？

由于正方形面积的阴影部分代表了所需的概率，它可能有助于放弃一百个想象中的人的想法，而只考虑一个单位一个单位的正方形。如果我稍微重新着色之前的图表并将侧面切割成比例$0.4$和$0.6$，而不是四个和六个人，我们得到这个：

也许这为两个独立事件的概率相乘提供了几何直觉。

本质上，我们解决独立事件的概率，就像我们解决任何“找到比例的比例”问题一样：乘法。如果你想找到$40\%$的$40\%$, 你会计算$0.4 \times 0.4 = 0.16 = 16\%$. 这就是我们正在做的事情，但比例被解释为独立的概率。