我敢打赌这在这个板上被覆盖了一百万次。简而言之：因为设计矩阵退化了，OLS的线性代数问题没有唯一解。将有无数同样好的解决方案，并且没有办法判断哪个更好。

技术细节：设计矩阵是一个矩阵，它通过将所有个变量放在列中并将所有观察值放在行中来构造。它是其中是从 1 到的行，是从 1 到的列。碰巧的是，当存在完美共线性时，矩阵可以简化为矩阵，其中每列现在代表一组新的变量使得。换句话说，新设计矩阵的列比原来的少，但没有丢失任何信息。$p$$n$$X_{ij}$$i$$n$$j$$p$$X$$X'_{ik}$$k=[1, p']$$p'<p$$X'$

在这种情况下，通常的解不存在，因为是单数。另一方面，解确实存在于新的变量集上。因此，完美共线性的唯一问题是原始变量集没有唯一解，但确实有解。$\beta=(X^TX)^{-1}X^TY$$(X^TX)^{-1}$$\beta'=(X'^TX')^{-1}X'^TY$

这意味着您可以选择任何非唯一的解决方案，并且它将与其他任何解决方案一样好。请注意，它不会像其他任何一样糟糕。因此，您可以使用此解决方案来预测。唯一的问题是您必须跳出典型的 OLS 方法才能找到解决方案，因为 OLS 的线性代数技巧不起作用。像梯度下降这样的东西会起作用。$Y'$

完美的多重共线性会导致巨大的痛苦。假设您的数据由单个参数生成，并添加了噪声过程，因此。$Y$$X$$u$$Y = \beta X + u$

现在让我（愚蠢地！）采用模型，其中存在完美的多重共线性，例如。我尝试通过回归找到。但是对于许多解决方案，最小二乘误差同样被最小化，只要。所以事实上，在这种情况下，没有办法声明和也没有办法说明和的置信区间。就个人而言，除非我能给出置信区间，否则我不认为任何统计量都是有意义的。$Y = \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u$$X_1 = X_2$$\beta_1, \beta_2$$\beta_1 + \beta_2 = \beta$$\beta_1$$\beta_2$$\beta_1$$\beta_2$