让$X = N(0,\frac{1}{\alpha})$,$Y = 2X + 8 + N_{y}$， 和$N_{y}$成为噪音$N_{y} = N(0,1)$. 然后，$P(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\{ -\frac{1}{2}(y - 2x - 8)^{2} \}$ 和$P(x) = \sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}exp\{-\frac{\alpha x^{2}}{2}\}$.

平均向量为：

$$\mathbf{\mu} = \left( \begin{array}{c} \mu_{x}\\ \mu_{y}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ 8\end{array} \right).$$

问题是如何计算 Y 的方差。

我知道正确答案是

$$\frac{4}{\alpha} + 1,$$

但不知道如何从

$$var(Y) = E[(Y-\mu_{y})^{2}] = E[(2X+N_{y})^{2}]$$

至

$$\frac{4}{\alpha} + 1.$$

有人可以帮忙吗？更新：谢谢大家的回答