机器算法验证 - 时的似然函数X〜U _( 0 , θ )X∼U(0,θ) - 吾爱随笔录

令是随机变量，均匀分布在上。推导给定样本的似然函数。 $X_1, ..., X_n$ $i.i.d$ $(0,\theta)$ $x_1, ..., x_n$

回答

似然函数是：

\begin{aligned} L (θ | x_{1}, . . ., x_{n}) & = \prod_{i = 1}^{n} f (x_{i} | θ) \\ = \frac{1}{θ^{n}} 1 (X_{1}, . . ., X_{n} \in [0, θ]) \\ = \frac{1}{θ^{n}} 1 (max (X_{1}, . . ., X_{n}) \leq θ) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}(\theta|x_1, ..., x_ n ) &= \prod_{i=1}^{n}f(x_i|\theta)\\ &= \frac{1}{\theta^n}\mathbb{1}(X_1, ..., X_n \in [0,\theta])\\ &= \frac{1}{\theta^n}\mathbb{1}(\max(X_1, ..., X_n) \leq \theta) \end{align}$

第二个等式对我来说很清楚，如果至少一个观察将落在区间之外，则可能性将等于 $0$ 。 $X_i$ $[0, \theta]$

我的问题是：

为什么它与第三个等式所暗示的小于 $\theta$ （我们如何证明第三个相等，直觉是什么？）

为什么第三个等式不是： $\frac{1}{\theta^n}\mathbb{1}(\min(X_1, ..., X_n)\geq 0, \max(X_1, ..., X_n) \leq \theta)$

编辑：将 min 和 max 分别更改为 \min 和 \max。