对于两个预测变量，很容易以代数形式写出方程：

$R^2 = \frac{r^2_{x1,y} + r^2_{x2,y} - 2r_{x1,y}r_{x2,y}r_{x1,x2}}{1-r^2_{x1,x2}}$。

正如@gung 所指出的，您还需要知道和之间的相关性。$x1$$x2$

编辑：只是一个简单的例子（在 R 中）来说明这个等式：

set.seed(12873)

x1 <- rnorm(20)
x2 <- .1*x1 + rnorm(20)
y  <- .8*x1 + .2*x2 + rnorm(20)

summary(lm(y ~ x1 + x2))$r.square
(cor(x1,y)^2 + cor(x2,y)^2 - 2*cor(x1,y)*cor(x2,y)*cor(x1,x2))/(1-cor(x1,x2)^2)

给出完全相同的答案0.2928677。

我确定有，但我不知道。此外，它会相当复杂，因为您还必须考虑协变量之间的相关性。也就是说，您也需要。生成的公式需要用矩阵表示法表示，以使其适合一行并能够解释任意数量的协变量，但这也可能使其对大多数人来说更加不透明，除非他们非常熟悉矩阵表示法. $corr(X_1,X_2)$

我可以说的一件简单的事情是，您的回归模型将产生一个预测值向量。 假设您的模型具有截距，这些值与观察值之间的相关性的平方根，无论您有多少协变量。 $\hat y$$corr(\hat y,y)$$R^2$

如果您计算一组变量的相关矩阵的逆矩阵，然后用一个减去对角线元素的倒数 ( )，则结果与值作为响应变量，所有其他值作为预测变量。$1-\frac{1}{r_{ii}}$$R^2$

> summary(lm( Sepal.Length ~ .-Species, data=iris ))$r.squared
    [1] 0.8586117
    > summary(lm( Sepal.Width ~ .-Species, data=iris ))$r.squared
[1] 0.5240071
> summary(lm( Petal.Length ~ .-Species, data=iris ))$r.squared
    [1] 0.9680118
    > summary(lm( Petal.Width ~ .-Species, data=iris ))$r.squared
[1] 0.9378503
> 1-1/diag(solve(cor(iris[,-5])))
Sepal.Length  Sepal.Width Petal.Length  Petal.Width 
   0.8586117    0.5240071    0.9680118    0.9378503