如您所见，对于错误发现率的Benjamini-Hochberg控制，没有固定的 p 值截止值。截止值取决于您一起评估您将它们按升序排列并从最低 p 值计数。值对假设“拒绝原假设” ：$m$$k$$(k=1)$$k$

对于给定的，找到最大的使得$\alpha$$k$$P_{(k)} \leq \frac{k}{m} \alpha.$

如果零假设都成立，因此 [0,1] 中的 p 值均匀分布，则 p 值截止值将接近。如果一些零假设不成立，你会低于多少取决于 p 值分布的不均匀程度。$\alpha$

我不确定这种方法的形式有效性，但您可以计算出 Hochberg 方法给出的相应 FWER。

用于控制错误发现率的 Benjamini-Hochberg 程序是（我将引用维基百科）

...我们有空假设测试和它们对应的p值。我们按升序列出这些p表示它们。...$H_1 \ldots H_m$$P_1 \ldots P_m$$P_{(1)} \ldots P_{(m)}$

1. 对于给定的，找到最大的使得$\alpha$$k$$P_{(k)} \leq \frac{k}{m} \alpha.$
2. 对于的原假设（即声明发现）。$H_{(i)}$$i = 1, \ldots, k$

该方法将 FDR 设置为，即，在被拒绝的假设中，我们期望 I 类错误的分数为。$\alpha$$\alpha$

另一方面，全族错误率是在一组被拒绝的假设中至少出现一个 I 类错误的概率。Hochberg 方法通过类似于 BH FDR 方法的计算来完成此操作（再次引用Wikipedia），

• 首先对p值排序（从最低到最高）并让相关假设为 $P_{(1)} \ldots P_{(m)}$$H_{(1)} \ldots H_{(m)}$
• 对于给定的，令是最大的使得$\alpha$$R$$k$$P_{(k)} \leq \frac{\alpha}{m-k+1}$
• 拒绝原假设$H_{(1)} \ldots H_{(R)}$

您可以将这些放在一起 1) 定义 FDR，2) 确定最大的拒绝p值和拒绝假设的总数，3) 计算相应的 Hochberg FWER作为 $\alpha$$p^*$$k$$m$$\tilde{\alpha}$

$$\tilde{\alpha} = p^* \times(m-k+1)$$

经过一番思考，我相信在 BH 程序之后最后一次（按等级）显着性检验的未调整 p 值最接近显着性阈值。

一个例子：

执行 BH 程序：

1. 一些p值：$0.0001,0.0234,0.3354,0.0021,0.5211,0.9123,0.0008,0.0293,0.0500, 1.000$

2. 订购它们：$0.0001, 0.0008, 0.0021, 0.0234, 0.0293, 0.0500, 0.3354, 0.5211, 0.9123, 1.0000$

3. 计算所有 10 个等级的 q 值：，对于。$q_i = \frac{i}{m}\cdot \alpha$$i=1,2,..,m$

4. 找到小于其对应 q 值的最大排名 p 值。

结果：

$$\begin{array}{} \textbf{Rank} & \textbf{q-value} & \textbf{p-value} & \textbf{Significance (BH)} \\ \hline 1 & 0.005 & 0.0001 & True \\ \hline 2 & 0.01 & 0.0008 & True \\ \hline 3 & 0.015 & 0.0021 & True \\ \hline 4 & 0.02 & 0.0234 & False \\ \hline 5 & 0.025 & 0.0293 & False \\ \hline 6 & 0.03 & 0.05 & False \\ \hline 7 & 0.035 & 0.3354 & False \\ \hline 8 & 0.04 & 0.5211 & False \\ \hline 9 & 0.045 & 0.9123 & False \\ \hline 10 & 0.05 & 1 & False \\ \hline \end{array}$$

在表中，我们可以看到Rank 3以上的所有测试都不显着，因此我们可以得出结论，0.0021作为我们的显着性阈值。相比之下，Bonferroni 校正的阈值为。$\frac{\alpha}{m}=0.005$

这是我用于此示例的 R 代码：

# generate p-values
pValues <- c(0.0001,0.0234,0.3354,0.0021,0.5211,0.9123,0.0008,0.0293,0.0500, 1)

# order the p-values
pValues <- sort(pValues)

# BH-procedure
alpha <- 0.05
m <- length(pValues)
qValues <- c()


for (i in 1:m){
  qV <- (i/m)*alpha
  qValues <- append(qValues, qV)
}

# find the largest p-value that satisfies p_i < q_i  
BH_test <- qValues > pValues

# largest k is 3, thus threshold is 0.0021
threshold <- p[sum(BH_test)];threshold