搜索引用的文本，这本书似乎是商业数据科学（Provost 和 Fawcett），他们正在描述软边距 SVM。他们对铰链损失的描述是错误的。问题是它不会惩罚位于边距内的错误分类点，正如您所提到的。

在 SVM 中，较小的权重对应较大的边距。因此，使用这种铰链损失的“版本”会产生病态后果：我们可以通过选择足够小的权重来实现最小可能的损失（零），以使所有点都位于边缘内。即使每个点都被错误分类。因为 SVM 优化问题包含一个鼓励小权重（即大边距）的正则化项，所以解决方案将始终是零向量。这意味着解决方案完全独立于数据，没有学到任何东西。不用说，这不会成为一个非常好的分类器。

软边距 SVM的铰链损失的正确表达式是：

$$\max \Big( 0, 1 - y f(x) \Big)$$

其中是给定输入的 SVM 的输出，是真正的类（-1 或 1）。当真正的类是-1（如您的示例中）时，铰链损失如下所示：$f(x)$$x$$y$

请注意，对于错误分类的点以及落在边距内的正确分类的点，损失是非零的。

有关使用铰链损失公式的软边距 SVM 的正确描述，请参阅统计学习的要素（第 12.3.2 节）或维基百科文章。

(A) 铰链函数可以表示为

$$y_{i} = \gamma \max{\left(x_{i}-\theta, 0\right)} + \varepsilon_{i},$$

在哪里：

• $\gamma$是铰链后斜率的变化。在您的示例中，这相当于铰链之后的斜率，因为您的仅铰链模型（见下文）假设对的影响为零，直到铰链。$x$$y$

• $\theta$是铰链所在的点（在$\boldsymbol{x}$中） ，是模型估计的参数。我相信你的问题是通过考虑到铰链的位置是由损失函数来回答的。

• $\varepsilon_{i}$是一些带有某种分布的误差项。

铰链功能也可用于更改任何线：

$$y_{i} = \alpha_{0} + \beta x_{i} + \gamma \max{\left(x_{i}-\theta, 0\right)} + \varepsilon_{i},$$

在哪里：

• $\alpha$是模型常数，是曲线在铰链之前的截距（即）。当然，如果，则曲线在铰链后与轴相交，因此不一定是弯曲线的截距。$x < \theta$$\theta < 0$$y$$\alpha$$y$
• $\beta$和相关的直线的斜率$y$$x$
• $\gamma$是铰链后斜率的变化。

此外，铰链可用于模拟和之间的函数关系如何变化形式，如在此模型中关系变为四边形$y$$x$

$$y_{i} = \alpha_{0} + \beta x_{i} + \gamma \max{\left(x_{i}-\theta, 0\right)^{2}} + \varepsilon_{i},$$