$\mathbf{\mu}$是原假设下的理论值。

对于一般情况：

$$H_0:\mu = \mu_0\\ H_a:\mu\ne\mu_0$$

我们通常会计算样本均值和样本方差，然后计算 t 统计量。$\bar x$$s^2$

$$t = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sqrt{s^2/n}}$$

现在让我们做一个例子。我们有$n = 3$观察，$3, 4, 5$, 我们想测试是否$\mu = 3$. （练习：这些数字的平均值显然是四。平均值怎么可能是三？）

$$H_0:\mu = 3\\ H_a:\mu\ne 3$$

让我们计算一下$\bar x$和$s^2$.

$$\bar x = \dfrac{3 + 4 + 5}{3} = 4 \\ s^2 = \dfrac{(3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2}{3 - 1} = 1$$

现在计算 t-stat。

$$t = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sqrt{s^2/n}} = \dfrac{4 - 3}{\sqrt{1/3}} = \sqrt{3}\approx 1.73$$

软件同意。

x <- c(3, 4, 5)
t.test(x, mu = 3)$statistic # I get 1.732051 

总之，您假设 $\mu$, 而不是知道$\mu$.

这并不普遍适用，但这是一个可以知道平均值的具体示例。

假设人口是“个人过去 6 个月在扑克游戏中的净利润”。

扑克不会创造或消灭金钱，所以如果你把每个人的输赢加起来，总和为零。（假设我们忽略了入场费之类的东西。）

所以平均利润为零，但方差未知。