设是从总体均值和有限方差随机样本，如果 是样本均值，那么$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$$n$$\mu$$\sigma ^{2}$$\bar {X}_{n}$

• 我们知道样本均值（统计量）是总体均值（参数）的无偏估计量，即$E[\bar{X_n}]=\mu$
• 通过 SLLN 我们有和 WLLN 我们有，当$\bar{X_n}\overset{a.s.}{\rightarrow}\mu$$\bar{X_n}\overset{P}{\rightarrow}\mu$$n \to \infty$
• 通过 CLT，，其中经验法则是样本大小$\dfrac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\overset{D}{\rightarrow}N(0,1)$$n \geq 30$
• 我们可以置信区间$(1-\alpha)\%$$\bar{X_n}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

例如，使用以下R代码片段，我们可以为总体均值构建一个的置信区间：$95\%$

sigma <- 5
n <- length(sample_1$pop)
x_bar <- mean(sample_1$pop)
# 95% CI
c(x_bar - qnorm(0.975)*sigma/sqrt(n), x_bar + qnorm(0.975)*sigma/sqrt(n))
# [1] 4.804931 5.424726

以下动画显示了当样本量变大时采样分布如何变化：

下一个动画显示了不同样本的置信区间如何变化，如果您长时间重复绘制随机样本（带替换），则总体平均值有的机会落在置信区间。$(1-\alpha)\%$$(1-\alpha)\%$

• 从上面可以看出，由于总体呈正态分布，因此观测值远离总体均值的概率很低（例如，与均值相差超过标准差的 ），这就是为什么即使样本量很小，在样本中选择远离总体均值的总体观测值的概率也非常低，这使样本均值与总体均值足够接近，并且置信区间围绕点估计（样本均值）几乎总是包含总体均值。情况并非如此（通常），特别是对于具有肥尾分布的人群。$5\%$$2$

下一个动画展示了置信区间的长度如何减小：$95\%$

如果你有一个样本来自向量中的正常总体， R中的过程将为你提供总体均值的样本从如下所示。（无需手动计算。）$X_1, X_2, \dots, X_n$xt.test$(49.19, 50.33)$$\mu,$$n = 20$$\mathsf{Norm}(\mu = 50, \sigma=7),$

set.seed(2021)
x = rnorm(20, 50, 7)
t.test(x)$conf.int
[1] 49.19194 56.32578
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

此过程也适用于测试，但您可以使用$符号来仅显示置信区间。

该置信区间的形式为其中是样本均值，是样本标准差， 从上尾切开概率具有个自由度的学生 t 分布。$\bar X\pm t^* s/\sqrt{n},$$\bar X$$s$$t^*$$0.025$$n-1 = 19$

a = mean(x)           # sample mean
s = sd(x)             # sample standard deviation
t.q = qt(.975, 19)    # quantiles .025 and .975 of T(19)

a; s; qt(.975,19)
[1] 52.75886
[1] 7.621391
[1] 2.093024
a + qt(c(.025,.975), 19)*s/sqrt(20)
[1] 49.19194 56.32578

请注意，（对称）t 分布的适当分位数是而标准正态分布的相同分位数是当的 95% 置信区间的分位数不远；两个分位数都舍入到[但是对于 95% 以外的置信水平，这条“30 条规则”并不适用。对于 90% CI，正常分位数为对于，t 分位数为$\pm 2.09,$$\pm 1.96.$$n\ge 30,$$\mathsf{T}(n-1)$$\pm 1.96;$$2.0.$$\pm 1.645\approx \pm 1.6;$$n=30$$\pm 1.699 \approx \pm 1.7.]$

qnorm(c(.025,.975))
[1] -1.959964  1.959964

如果出于某种原因，您希望在上面的示例中为提供 90% 或 99% 的置信区间，您也可以使用. 请注意，99% 置信区间是此处给出的三个 CI 中最长的一个（90%、95%、99%）。$\mu$t.test

t.test(x, conf.level = .90)$conf.int
[1] 49.81208 55.70564
attr(,"conf.level")
[1] 0.9
t.test(x, conf.level = .99)$conf.int
[1] 47.88327 57.63445
attr(,"conf.level")
[1] 0.99

最后，假设我们不知道数据x的正态分布中采样的，我们想要测试和 以下是来自.$\mu = 50,$$H_0: \mu = 50$$H_a: \mu \ne 50.$t.test

t.test(x, mu = 50)

         One Sample t-test

data:  x
t = 1.6189, df = 19, p-value = 0.122
alternative hypothesis: 
 true mean is not equal to 50
95 percent confidence interval:
 49.19194 56.32578
sample estimates:
 mean of x 
  52.75886

，所以在 5% 的显着性水平上不会拒绝原假设。 因此，包含在 95% CI 中。$0.122 > 0.05 = 5\%.$$\mu_0 = 50$