三个事实将在这里为您提供帮助。

• 您发现的称为精确拟合属性。如果的观测值具有相同的值，则样本的 mad 将为 0。$\alpha > 0.5$
• 这不是疯子的特性，而是所有强大的规模估计器的特性。更准确地说：任何分解点的稳健规模估计量都 水平的精确拟合属性（参见 Croux 等人的第 3 节，2006，[0]，对于例子）。$0< \alpha < 0.5$$1-\alpha$
• 您的第一个建议相当于在完全拟合的情况下用任意数字的值（在前者中和M_i是您扰乱数据的量——在后者中）。 $M_i$$M_i=0$$M_i=O(1/\sigma)$$\sigma$

您提出的问题解决方案（第 3 点）不是正确的解决方案。

事实上，您的问题的正确解决方案要简单得多。保持 MAD，保持异常值拒绝规则。您需要做的就是 在计算异常值检测规则此约定在精确匹配情况之外没有影响。然后，无论 MAD 是否严格为正，您都可以使用该规则。$0/0:=0$

这是因为：

在完全拟合的情况下，一半或更多的数据与任意值不同的所有观测值都是严重异常值$x$$x$。

在这种情况下，样本中与不同的所有观测值毕竟与大量数据的模式存在无限差异。然后，采用将为那些等于 ( ) 和那些不同于 ( ) 的观察分配正确的离群分数。 $x$$0/0:=0$$x$$M_i=0$$x$$M_i=\infty$

您可以使用此约定的原因是因为精确拟合属性是双射的：

Mad = 0超过一半的样本与相同的值相关联。$\iff$

• 投影追踪稳健主成分分析的算法。（2006 年）。Croux, C. Filzmoser, P. 和 Oliveira, MR

1. 一个实用的建议。

更改这部分代码

    if mad == 0:
        mad = 9223372036854775807 # maxint

至

    if mad == 0:
        mad = 2.2250738585072014e-308 # sys.float_info.min

它成功了。除以这个数字会炸毁 Iglewicz-Hoaglin 测试统计数据 - 完全符合预期。也就是说，将严重偏差的观察标记为异常值。

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2.以前的实用建议。

您可以做的是检查它是否与平均绝对误差( MAE ) 的密切相关定义一起使用：

$$\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \text{median}(x)|,$$

与错误（更好：残差或偏差）。$e_i = x_i - \text{median}(x)$

IBM使用此变体：

$$M_{i} = \frac{x_{i} - \text{median}(x)} { 1.253314 \cdot \text{MAE} }$$

对于这个if MAD == 0案子。

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3. 这里发生了什么？（从编程的角度来看）

考虑以下两种情况：

1. $0/0$ ,
2. $x/0$对于。$x \neq 0$

科学编程语言 R、Matlab 和 Julia 具有以下行为：

1. 0/0返回NaN。
2. 90/0返回Inf。

另一方面，PythonZeroDivisionError在这两种情况下都会抛出 a 。

实用建议一规避了这两种零分割处理的两种情况。