机器算法验证 - 重尾随机变量的伯恩斯坦不等式 - 吾爱随笔录

已知对于独立的次指数随机变量，以下 Bernstein 型不等式成立：

\begin{aligned} P (| \sum_{i = 1}^{N} a_{i} X_{i} | > t) \leq 2 \exp [- c min (\frac{t^{2}}{K^{2} ‖ \vec{a} ‖_{2}^{2}}, \frac{t}{K ‖ \vec{a} ‖_{\infty}})], \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\biggl(\biggl| \sum_{i=1}^N a_i X_i\biggr| >t \biggr) \leq 2 \exp\left[ -c\min \left(\frac{t^2}{K^2 \| \vec{a}\|_2^2}, \frac{t}{ K \| \vec{a}\|_{\infty}} \right)\right], \end{align}$ 其中

K = max ‖ X_{1} ‖_{ψ_{1}}

$K = \max \| X_1\|_{\psi_1}$ 和

\vec{a} \in R^{N}

$\vec{a}\in\mathbb{R}^N$ 。

我想知道类似的浓度不等式是否适用于重尾随机变量，其中 $X_i$ 满足 $\mathbb{P}(X_i > t) \leq C\exp(c t^{-\alpha})$ 对于 $\alpha\in(0,1)$ .