我想说，应用概率论中的通常定义是右重尾分布是在上具有无限矩生成函数的分布，也就是说，如果 这与Wikipedia一致，它确实提到了其他使用的定义，例如您拥有的定义（某些时刻是无限的）。还有一些重要的子类，例如长尾分布和次指数分布。根据上面的定义，所有矩都是有限的重尾分布的标准示例是对数正态分布。$(0, \infty)$$X$

$$E(e^{tX}) = \infty, \quad t > 0.$$

很可能有些作者可以互换使用肥尾和重尾，而其他作者则区分肥尾和重尾。我会说肥尾可以更模糊地用于表示比正常尾巴更胖，并且有时在你所指出的leptokurtic（正峰度）的意义上使用。根据上述定义，这种分布不是重尾分布的一个例子是逻辑分布。但是，这与例如Wikipedia 不一致，后者限制性更强，并且要求（右）尾部具有幂律衰减. 维基百科的文章还表明，肥尾和重尾是等价的概念，尽管幂律衰减比上面给出的重尾定义强得多。

为避免混淆，我建议使用上面（右）重尾的定义，而不管肥尾是什么。上述定义背后的主要原因是，在对罕见事件的分析中，在正区间上具有有限矩生成函数的分布与在上具有无限矩生成函数的分布之间存在质的差异。 $(0, \infty)$

NN Taleb, P Cirillo (2019) 在分支认知不确定性和尾部厚度中直接解决了这个问题，他们指出：

从极值统计的角度来看，Gamma 和对数正态分布都是重尾分布，这意味着它们的右尾变为零比指数函数慢，但不是“真正的”肥尾，即它们的尾下降得更快比幂律[31]。从极值理论的角度来看，这两个分布都在广义极值分布 [9]、[14] 的 Gumbel 情况的最大吸引力域中，而不是 Fréchet 的最大吸引力域，即适当的肥尾分布案子。因此，这些分布的矩总是有限的。

首先可以有左尾和右尾，然后是长尾和短尾。短尾分布可以被认为具有有限范围，称为它的支持。长尾在那个方向上有半无限的支持。对于右尾重度，通常通过检查两个不同分布的比率的对数来比较生存函数 (RVs) 或互补累积密度函数 (1-CDF)。一般来说，重尾意味着比指数分布更重，而轻尾意味着比指数分布更轻。重尾分布的一个子集称为“肥尾”。从历史的角度来看，肥尾的概念很可能与 I 型帕累托分布有关，即

$$\begin{equation}\label{eq:PD} \text{PD}(t; \alpha, \beta)= \dfrac{\alpha}{t} \left(\dfrac{\beta}{t}\right) ^{\alpha } \theta(t-\beta)\;, \end{equation}$$

其中，是形状参数，是尺度参数，β 是单位阶跃函数，因此延迟，并且是时才用于制作非零乘积。$\alpha$$\beta$$\theta(\cdot)$$\theta(t-\beta)$$\beta$$t> \beta$

来自朱兰，“帕累托原则（原文如此，80-20 规则）得名于意大利出生的经济学家维尔弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto，1848-1923），他观察到相对少数人拥有大部分财富（20%）——早在 1895 年。Pareto 开发了对数数学模型来描述这种财富的不均匀分布，数学家 MO Lorenz 开发了图表来说明它。

接下来，让我们考虑一下当时对财富的态度。Renzaho引用Grivetti的话说：“在 20 世纪之交，北美肥胖备受推崇；富有的消费者在腰间展示了他们的财富。肥胖的脸颊和充足的胃是个人健康的视觉线索，没有感染可怕的纤细肺结核。照片对 19 世纪末和 20 世纪初的美国高管的调查显示，富有绅士的饮食摄入量经常超过消耗的卡路里。”

那个时代的历史为这些话赋予了相当大的分量。根据美国 1910 年的人口普查，肺结核，又称“消耗”，实际上是从内而外吞噬身体，几十年来一直流行，每年每 1,000 名居民中约有 15 人死亡，或者，如果您愿意，大约有 30 人死亡。 SARS-CoV-2 年死亡率的倍数。因此，更现代的苗条健康概念似乎并不流行。

接下来，“肥猫”一词在大约 1920 年或更早的时候开始用来描述富有的政治捐助者，帕累托的作品在 1916 年首次被翻译成英文。Wesolowski等人。在脚注中总结了那个时代的普遍态度，“具有讽刺意味的是，财富的肥尾分配激发了卡尔马克思的 [49] 以及贝尼托·墨索里尼的经济政策，它们对相同的统计数据 [50] 做出了截然相反和极端的反应。” 并属性肥尾的含义如下所示，“幂律的统计形式是帕累托分布 (PD)，它与柯西分布一样，尾部非常重，它们赋予了不寻常的统计特性，并被命名为肥尾分布。幂律与尺度无关本质上是分形的。”

在那篇论文中，[49] 指的是肥猫和肥尾：从金融危机到“新”概率马克思主义，[50] 指的是由 Zanden 重新考虑的帕累托和法西斯主义。维尔弗雷多·帕累托将贝尼托·墨索里尼作为他最著名的学生不应该被任何人遗忘。