让我们看看这对青蛙。雄性青蛙是通过视频中的叫声来识别的。

正如视频中所解释的，在我们听到任何呱呱叫之前，给定 2 只青蛙，有 4 个同样可能的结果：

• 青蛙 1 是雄性，青蛙 2 是雄性
• 青蛙 1 是雌性，青蛙 2 是雄性
• 青蛙 1 是雄性，青蛙 2 是雌性
• 青蛙 1 是雌性，青蛙 2 是雌性

假设男性和女性平等且独立地发生，我们的样本空间是，我们有概率每个元素$\{(M,M),(F,M),(M,F),(F,F)\}$$1/4$

现在，一旦我们听到这对青蛙发出的呱呱叫，我们就知道至少有一只青蛙是雄性的。因此事件是不可能的。然后，我们有一个新的、减少的样本空间，由这个条件引起：。剩下的每个可能性仍然是等可能的，并且所有事件加在一起的概率必须是。所以这三个事件中的每一个在新样本空间中的概率必须是。$(F,F)$$\{(M,M),(F,M),(M,F)\}$$1$$1/3$

唯一对我们不利的事件是，因此有的生存机会。$(M,M)$$2/3$

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更正式地说，条件概率的定义是：

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ 所以如果是至少有一名女性在场是至少一名男性在场的事件，我们有： $A$$B$ $$\begin{align}P(\text{F given at least 1 M}) &= \frac{P(\text{F and at least 1 male})}{P(\text{at least 1 M})}\\ &= \frac{P(\text{1 M and 1 F})}{P(\text{1 M or 2 M})} \\ &= \frac{P[(M,F),(F,M)]}{P[(M,M),(F,M),(M,F)]} \\ &= \frac{1/2}{3/4} = 2/3 \end{align}$$

这实际上与我们上面推理的过程相同。

由于数学已经布置好，我将尝试提供一些直觉。问题是知道至少一只青蛙是雄性与知道任何特定的青蛙是雄性是不同的。前一种情况携带的信息较少，这有效地增加了我们在后一种情况下的机会。

左右叫青蛙，假设我们被告知右边的青蛙是雄性。然后我们从样本空间中消除了两个可能的事件：两只青蛙都是雌性的事件和左青蛙是雄性而右青蛙是雌性的事件。现在概率确实是一半，我们选择哪一个都没有关系。如果我们知道左边的青蛙是雄性，同样的论点也是正确的。

但是，如果我们只被告知至少一只青蛙是雄性的，这就是当我们听到呱呱声时发生的情况，那么我们就无法消除左侧青蛙是雄性而右侧青蛙是雌性的事件。我们只能消除两者都是女性的事件，这使得至少有一个是女性的事件比之前的设置更有可能发生。

我认为这令人困惑的原因是我们自然认为知道至少有一个是雄性应该让我们不愿意选择这对青蛙。确实，这些信息降低了至少一个是女性的可能性，但也认识到在我们完全了解任何东西之前，至少有四分之三的机会至少有一个女性。正是我们收到的信息模棱两可，所以我们仍然应该更喜欢两只青蛙而不是一只。

在这种情况下，您的直觉是正确的。正如问题所述，您的生存几率为 50%。视频根据我们掌握的信息错误地陈述了问题空间，因此得出了错误的结论。正确的问题空间包含 8 个条件，如下所示。

我们在一根圆木上养了两只青蛙，其中一只已经呱呱叫了我们的可能性是什么？（M代表公，F代表母，c代表呱呱，第一个位置是左边，第二个位置是右边）

[
  [Mc, M], 
  [M, Mc],
  [Mc, F], 
  [M, Fc], (X No Male croak) 
  [Fc, M], (X No Male croak)
  [F, Mc], 
  [Fc, F], (X No Male croak)
  [F, Fc], (X No Male croak)
]

根据我们所掌握的信息，当我们消除已知雄性青蛙已经发声的情况时，每种情况的可能性都相同。我们发现有 4 个结果可以预期。左公蛙在沉默的右公蛙旁边发出呱呱叫。右雄蛙在一只沉默的左雄蛙旁边发出呱呱叫。或者在任一方向都有一只叫声的雄性青蛙与一只雌性青蛙配对。为了直观地理解这一点，两只雄性青蛙发声的可能性是与一只雌性配对的雄性青蛙的两倍，因此我们必须适当地加权。

您还可以通过 croaking frog (C) 和 non croaking frog (N) 来划分搜索空间。由于叫声青蛙 100% 是雄性，因此您可以将其从搜索中删除，因为它没有机会帮助您生存。虽然作者打算创造一个“蒙蒂霍尔问题”，但他们无意中创造了一个“男孩或女孩悖论”。

以下问题会产生不同的结果：

假设有一个男性，另一个是女性的可能性有多大？

鉴于一只雄性青蛙发出呱呱叫，另一只是雌性的可能性有多大？

我在第二种情况下知道更多信息

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

对此有一个更清晰的答案，因为前面的内容太长且不易理解。

尽管我使用了相同的字母，但可能的结果是不同的。为了明确样本空间，我将描述可能的结果

MM --> "左边是男性" - "右边是随机男性"

MF --> "左边是男性" - "右边是随机女性"

MM --> “男性在右边” - “随机男性在左边”

MF --> “男性在右边” - “随机女性在左边”